第4章学案19.doc

学案19　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
导学目标： 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

自主梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
x

ωx＋φ

y＝
Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：
(1)相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动____个单位．
(2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标______(0<ω<1)或______(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．
(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)．
3．当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝________叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．
函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为__________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为__________．
自我检测
1．要得到函数y＝sin的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象向________平移________个单位．
2．已知函数f(x)＝sin (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为________．
3．(2010·四川改编)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
4．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s＝10sin(t－)，t∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________，初相是________．
5．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A>0，ω>0)，则A＝________，ω＝________.

探究点一　三角函数的图象及变换
例1　已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

变式迁移1　设f(x)＝1＋sin(2x－)，x∈R.
(1)画出f(x)在上的图象；
(2)求函数的单调区间；
(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

变式迁移2　(2010·宁波高三二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

求f(x)的解析式及x0的值；

探究点三　三角函数模型的简单应用
例3　已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

变式迁移3　交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．

数形结合思想
例　(14分)设关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
【答题模板】
解　(1)原方程可化为sin(θ＋)＝－，作出函数y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的图象．
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是.[4分]
即－2<a<－或－<a<2.

[7分]
(2)由图知：当－<a<2，即－∈(－1，)时，直线y＝－与三角函数y＝sin(x＋)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，∴＝，
∴α＋β＝.[10分]
当－2<a<－，即－∈(，1)时，直线y＝－与三角
函数y＝sin(x＋)的图象有两交点A、B，由对称性知，＝，[13分]
∴α＋β＝.综上所述，α＋β＝或α＋β＝. [14分]
【突破思维障碍】　
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．
图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x＝x的实根个数；⑤对称问题等．
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－时，方程只有一解．

1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sin x的作用．
2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．
3．三角函数模型应用的解题步骤：
(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是________．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)图象的一部分如图所示，其解析式为________．

3．(2011·徐州模拟)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向________平移________个单位．
4．(2009·辽宁改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.

5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0，|φ|<)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是______________．
6．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．
7．(2011·宜昌模拟)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)的值为________．

8．(2011·南通期末)若函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m对任意t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1，则实数m的值等于________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

10．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．

11．(14分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π，
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．

答案 自主梳理
1.　　　　　0　　π　 2π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸长　缩短　　(3)伸长　缩短　A　3.A　　　ωx＋φ　φ　　
自我检测
1．右　　2.　3.y＝sin
4．4π　　10　t－　－　5.10　
课堂活动区
例1　解题导引　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表：
x
－

X
0

π

2π
y＝sin X
0
1
0
－1
0
y＝

2sin
0
2
0
－2
0
描点连线，得图象如图所示：

(3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，
最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
变式迁移1　解　(1)(五点法)设X＝2x－，
则x＝X＋，令X＝0，，π，，2π，
于是五点分别为，，，，，描点连线即可得图象，如图．

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为，k∈Z.
(3)把y＝sin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin＋1的图象．
例2　解题导引　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
解　由图象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝＝＝.
方法一　由图象过点(1,2)，
得2sin＝2，
∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
方法二　∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．
∴×1＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
变式迁移2　解　由题意可得：
A＝2，＝2π，即＝4π，∴ω＝，
f(x)＝2sin，f(0)＝2sin φ＝1，
由|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)．
f(x0)＝2sin＝2，
所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋ (k∈Z)，
又∵x0是最小的正数，∴x0＝.
例3　解题导引　(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A＝；②k＝；③ω＝；④φ由特殊点确定．
解　(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，∴cos t>0，
∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，
得0≤t<3，或9<t<15，或21<t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3　解　(1)t＝0时，E＝220sin
＝110(伏)．
(2)T＝＝0.02(秒)．
(3)当100πt＋＝，t＝秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏．
课后练习区
1．y＝sin　2.y＝sin(2x＋)　3.左　
4.　5.y＝2sin＋2　6.　7.2(＋1)
8．－3或1
9．解　(1)由图象知A＝2，
∵T＝＝8，∴ω＝.……………………………………………………………………(3分)
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin(x＋)．………………………………………………………………………(6分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)
＝2sin(x＋)＝2cosx.…………………………………………………………(10分)
∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－.
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.…………………………………………………………(14分)
10．解　根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，即sin ωxcos φ＝0，
∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋ (k∈Z)．
而0≤φ≤π，∴φ＝.………………………………………………………………………(5分)
再由f(x)＝2sin(－ωx＋)＝2cos ωx的图象关于点N对称，f()＝2cos(π)＝0，
∴cos π＝0，
即π＝kπ＋ (k∈Z)，ω＝ (k∈Z)．…………………………………………(10分)
又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2.
最后根据f(x)在区间[0，π]上是减函数，
可知只有ω＝满足条件．
所以f(x)＝2cos x.………………………………………………………………………(14分)
11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx
＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.……………………………………………………………………(6分)
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)
＝sin＋.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤时，≤4x＋≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤，…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.……………………………………………………(14分)