专题三递推数列求通项题型归类归法.doc

专题三 递推数列求通项题型归类归法
四川省双流县中学 王 林
2015-5-11
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解（如教材P69B组5、6）。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．前期学习中总结表明：转化化归的数学思想是求复杂问题的主导，序号处理是易错点．下面总结出几种常见类型递推公式下求解相应数列的通项公式的方法，希望大家落实过手．

类型一

方
法
累加法(逐差相加法)
把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.
【例1】已知数列满足，，求．
解：由条件知：，分别令，代入上式得个等式累加之，即
，
所以，，
【变式】已知数列满足，，求．

【提升】已知数列中，且，其中1,2,3,…….
（1）求；（2）求的通项公式．

类型二

方
法
累乘法(逐商相乘法)
把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解．
【例2】已知数列满足，，求．
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，
规律：
【变式】已知数列，满足a1=1， (n≥2)，求数列的通项公式

【提升】1、已知数列满足，求

2、正项数列中，，，求

类型三
一级线性递推：（其中p，q均为常数，）

方法1
构造辅助数列法
用待定系数法构造等比数列，即把原递推公式转化为：，
其中，再利用换元法转化为等比数列求解．

方法2
构造辅助数列法
求出的通项用累加法求（转化为类型1）

比较以上两种方法，用解法1快捷。
【例3】已知数列中，，，求．

【提升】已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明：

类型四
（其中p均为常数，）
方

法
辅助数列法
用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公式为的等比数列（前提是首项不为0）
【例4】设数列满足，求数列的通项公式

类型五
（其中p，q均为常数，）．

方法1
辅助数列法
一般地，先在递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，转化为一阶线性递推数列求解。

方法2
辅助数列法
在递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再用累加法求解
【例5】已知数列中，,，求．

【提升】设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

类型六
二阶线性递推：（其中均为常数）．
方

法
辅助数列法
用待定系数法，把递推关系式变形为，其中满足，化归为等比数列问题，再应用前面类型的方法求解。项不为0）
【例6】（06福建）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；
解：（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列
（II）解：由（I）得

类型七
递推公式为与的关系式(或)
方

法
消“元”转化法
一般利用与消去 或与消去进行求解．
【例6】已知数列前n项和.
（1）求与的关系； （2）求通项公式.

【变式】数列的前项的和为满足，.
（1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式.

【提升】（2013江西（理））正项数列的前项和满足:
(1)求数列的通项公式；
(2)令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有
解析：(1)解:由,得.
由于是正项数列,所以.
于是时,.
综上,数列的通项.
(2)证明:由于.
则.

【提升】设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.（2013广东（理））
解析：(1) 解: ,.
∴当时, ，又,∴
(2)解: ,.
①
当时, ②
由① — ②,得

数列是以首项为,公差为1的等差数列.

当时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,

当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.