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第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．

⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．设，，则． 设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．

必修4第二章平面向量教学质量检测
一.选择题（5分×12=60分）:
1．以下说法错误的是（　 ）
A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为的是（　　）
A．　　　　　　B．
C．　　　　　　　D．
3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）
A． B． C． D．
4． 已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）
A． B． C． D．4
5．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（ ）
（A） （B） （C） ＋ （D）
6．设，为不共线向量， ＝+2,＝－4－,＝
－5－3,则下列关系式中正确的是 （ ）
（A）＝ （B）＝2 （C）＝－（D）＝－2
7．设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ ）
（A） 1 （B） －1 （C） （D） 任意不为零的实数
8．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（ ）
（A） 矩形 （B） 菱形 （C） 直角梯形 （D） 等腰梯形
9．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（ ）
（A） （－14，16）（B） （22，－11）（C） （6，1） （D） （2，4）

10．已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
11、若平面向量和互相平行，其中.则（ ）
A. 或0； B. ； C. 2或； D. 或.
12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ②③④⑤
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

二. 填空题(5分×5=25分):
13．若Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．
14．已知，则 ．
15、已知向量，且，则的坐标是_________________。
16、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________。
17．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。
18、（14分)设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；
（3）试求与垂直的单位向量的坐标．

19．（12分）已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 与b的夹角为 。

20. （13分)已知平面向量若存在不同时为零的实数k和t,使

（1）试求函数关系式k=f（t）
（2）求使f（t）>0的t的取值范围.

21．（13分)如图， =(6,1), ，且 。
　　(1)求x与y间的关系； (2)若 ，求x与y的值及四边形ABCD的面积。

第二章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列四个表达式：
①|a＋b|＝|a|＋|b|；
②|a－b|＝±(|a|－|b|)；
③a2>|a|2；
④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为(　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．下列命题中，正确的是(　　)
A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角
3．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　　)
A．－ B.
C．0 D.
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．0
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为，则C点坐标为(　　)
A．(1，－3) B.
C．(4,2) D．(－2,4)
11．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上求一点P，使·有最小值，则点P的坐标为(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
12．下列命题中正确的个数是(　　)
①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；
②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；
③a·a·a＝|a|3；
④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；
⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有＋＝＋.
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
14．假设|a|＝2，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.
15．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝________.(其中i，j为夹角90°的单位向量)
16．(2009·天津高考)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
20．(12分)在直角坐标系中，已知＝(4，－4)，＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
21．(12分)在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形的形状．
22．(12分)已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：⊥；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

第三章　三角恒等变形
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°等于(　　)
A．0　　　 B.　　　
C.　　　 D．1
2．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x、y的大小关系为(　　) X|k |B| 1 . c|O |m
A．x≤y B．x＞y
C．x＜y D．x≥y
3．若sin α＋cos α＝tan α(0<α<)，则α的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，)
4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是(　　)
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　)
A. B.
C．0 D．－1
6．当0<x<时，函数f(x)＝的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
7．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
8．(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B.
C. D．2－1
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg )，则(　　)
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·江西高考)若＝，则tan 2α＝________.
12．知α，β∈(0，)，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.
13．若θ是第二象限角，cos －sin ＝，则角所在的象限是________．
14．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
15．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

17．(本小题满分12分)若2sin(＋α)＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．

20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．

21．(本小题满分13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．xKb 1. Com
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域．

一、选择题
1．求值（ ）A． B． C． D．
2．函数的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A. B.C. D.
4．△ABC中，，则函数的值的情况（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．有最大值且有最小值 D．无最大值且无最小值
5． 的值是( )
A. B. C. D.
6．当时,函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．给出下列命题：①存在实数，使；
②若是第一象限角，且，则；③函数是偶函数；
④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）
2．函数的最小正周期是___________________。
3．已知，，则=__________。
4．函数在区间上的最小值为 ．
5．函数有最大值，最小值，则实数____，___
三、解答题
1．已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．

2．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求。

3．已知求的值。

4．已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值
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