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巧用绝对值的性质解题

【概述】
在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．根据绝对值的这一定义，我们不难得出绝对值的如下性质．
1．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．
2．任何数的绝对值都是非负数．
3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或是互为相反数．
4．若两个数的绝对值的和等于零，则这两个数都等于零．
利用绝对值的这些性质，可巧解一些数学题．
【例解说明】
一、化简：
例1 若x<-3，则|1-|2+x||等于( )
A、-x-3 B、-x+3 C、x-3． D、x+3．
解：由x<-3，有x+2<-1<0,x+3<0．
则原式=|1+2+x|=-(x+3)=-x-3．选A．
例2　若m<0，n<0，那么|n-m+2|-|m-n-6|等于( )
A、4． B、-4 C、-2m+2n+8． D、-2m-2n-8．
解：由m<0，mn<0知n>0．这时，m<n．
∵m-n<0，n-m>0，∴n-m+2>0,m-n-6<0．
则原式=(n-m+2)+(m-n-6)=-4．
选B．
二、求值
例3 若|a+1|+|2b+4|=0，则= ．
解：由已知等式，有a+1=0 2b+4=0．
∴a=-1,b=-2
原式=
例4 设x，y，a是有理数，并且|x|=1-a，|y|=(1-a)×〔-1-〕，试求|x|+y++1的值等于多少?
解：由|x|≥0；|y|≥0, -1-<0,那么，
1-a≥0,1-a≤0 ∴1-a=0．
∴a=1，x=0，y=0．
则原式=|0|+0++1=2．
三、解方程
例5 若|2006x+2007|=2007则x= ．
解：由已知方程，得
2006x+2007=±2007．
∴2006x=-2007±2007．
则x=0，或
四、求最值
例6设A=|x-b|+|x-10|+|x-b-10|，其中0<b<10，b≤x≤10，则A的最小值是( )
A 10． B 15 C 20． D 不能确定．
解：由已知条件，b≤x≤10<b+10，从而x-b≥0，x-10≤0，x-b-10<O．
则A=(x-b)+(10-x)-(x-b-10)=20-x．
∵x的最大值为10，
∴A的最小值为20-10，即10．
选A．

抓住要点 学好绝对值

一、理解绝对值的几何意义。一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，牢记：绝对值是距离，所以一定不是负数。特别要注意，当a＜0,时，︱a︱＞0。
例1：（1）已知︱m︱=︱n︱，能否断定m=n ？（2）已知︱m︱＞︱n︱能否断定m＞n? (3)已知m是任何有理数，能断定︱m︱≥0吗？
解：（1）不能断定m=n，如当m、n异号时m=－n （2）不能断定m＞n，如当m=－5，n=1时，虽然︱m︱＞︱n︱，但m＜n （3）能断定︱m︱≥0，因为︱m︱表示距离，不可能是负数.

二、熟练进行绝对值计算和化简。正确去掉绝对值符号是解决这类问题的关键，切记：去绝对值符号前必须先考虑绝对值符号内的数是正数、零，还是负数？如是负数，去掉绝对值符号后，一定要在原数前加上一个“－”号。
例2 化简︱1+︱1+x︱︱（x＜－1 ）
解：∵x＜－1，∴1+x＜0,，∴︱1+x︱=－（1+x） ∴︱1+︱1+x︱︱=︱1－（1+x）︱=︱－x︱=－x.
例3 设a+b+c=o , abc＞0,则的值是（ ）
A. －3 B.1 C.3或－1.D－3或1.
解：∵a+b+c=o , abc＞0， ∴ a、b、c中定有两个负数和一个正数，又a+b=－c；b+c=－a；c+a=－b, ∴原式=. 故选B

三、掌握已知某数的绝对值求某数的方法。这类问题和上面第二类问题相反，解题的关键是：对绝对值符号内的数可能是什么数，要仔细分析，全面考虑。
例4 已知︱m︱=1，︱n︱=2，求m+n.
解：由题意知：m=±1, n=±2, ∴当m=1, n=2时，m+n.=3.； 当m=1，m=－2时，m+n.= －1；当m=－1，n=2时，m+n.= 1；当m=－1，n=－2时，m+n.= －3.
注意：当︱a︱=－a时，a≤0，切勿a＜0.

绝对值中的数学思想

绝对值的概念是中学数学中一个重要概念，它的应用十分广泛．因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法．
　　1．整体代换
　　例1若|a-2|＝2-a，求a的取值范围．
　　解 根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2．
　　2．数形结合
　　例2 已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．
　　解 分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：

　　很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0．
　　用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想．
　　3．分类
　　例3五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|＝-abcde，

解 由题设条件知，abcde＜0，而 a、b、c、d、e满足abcde ＜ 0仅有三种情况：
①二正三负；②四正一负；③五负．
又因为对于任意非零有理数a，有
故S最大值是在四正一负时取得，即S最大值＝4－1＝3
　　4．特殊化
　　有些数学题目，直接解原题时感到难以入手，可以先考察它的某些简单特例，而后达到解决原题的目的，这种思考问题的过程，称为“特殊化”方法．
　　例4 已知a、b是有理数，且a·b＜0，试比较|a+b|，|a-b|，|a|+|b| ，||a|-|b||的大小．
解 根据已知a·b＜0，不妨取a＝1，b＝-1，
这样有|a+b|＝0，|a-b|＝2，|a|+|b|＝2，||a|-|b||＝0，
　　∴|a+b|＝||a|-|b||＜|a-b|
　　＝|a|+|b|．

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