常用逻辑用语中的“常考题型”.doc

2　常用逻辑用语中的“常考题型”
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．
答案　充分不必要
解析　若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，
故a＝3是A⊆B的充分条件；
而若A⊆B，则a不一定为3，
当a＝2时，也有A⊆B.
故a＝3不是A⊆B的必要条件．
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________．
答案　若tan α≠1，则α≠
解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.
3．(2014·无锡模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中，真命题为________．
答案　p1，p4
解析　如数列－2，－1,0,1,2，…，
则1×a1＝2×a2，排除p2，
如数列1,2,3，…，则＝1，
排除p3.
4．已知p：<1，q：(x－a)(x－3)>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　－1<0⇒<0⇒(x－1)(x＋1)<0⇒p：－1<x<1.当a≥3时，q：x<3或x>a；当a<3时，q：x<a或x>3.綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且q p，从而可推出a的取值范围是a≥1.
5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．
答案　存在x∈R，使得x2<0
解析　全称命题的否定是一个存在性命题．
6．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3恒成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．
其中，真命题为________．(填序号)
答案　①②③
解析　①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x>1；③中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q：∀x∈R，x2－x－1>0，由于x2－x－1＝2－，则存在x值使x2－x－1≤0，故綈q为假命题，则p∧綈q为假命题．
7．下列关于命题的说法中正确的是________．
①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
答案　①②③
解析　对于①，命题綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0，因此①正确．对于②，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值也可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，②正确．对于③，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此③正确，④中，只要p、q其一为假就会满足p∧q为假，④错．
8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　命题p：a≤x2－ln x在[1,2]上恒成立，令f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝x－＝，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝，∴a≤.
9．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．
答案　充分而不必要
解析　当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，
则曲线y＝－sin 2x过坐标原点，
所以“φ＝π”⇒“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”；
当φ＝2π时，y＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，
则曲线y＝sin 2x过坐标原点，
所以“φ＝π” “曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”，
所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
10．(2014·徐州模拟)下列命题中错误的是________．
①命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
②若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤2中等号成立”的充要条件
③已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
④对命题p：∃x∈R，使得x2－2ax－a2<0，则綈p：∀x∈R，x2－2ax－a2≥0
答案　③
解析　易知①②④都正确；③中，若p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故③错．
11．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，0)∪(，4)
解析　若p为真命题，则a＝0或
即0≤a<4；
若q为真命题，则(－1)2－4a≥0，即a≤.
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题．
若p真q假，则<a<4；
若p假q真，则a<0.
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪(，4)．
12．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________．
①逆命题为“周期函数不是单调函数”
②否命题为“单调函数是周期函数”
③逆否命题为“周期函数是单调函数”
④以上三者都不正确
答案　④
解析　根据四种命题的构成可得①②③中结论均不正确．