三校联考数学大题答案.doc

17、已知两直线和，求满足下列条件的实数的值
（1），且直线过点；
（2），且两直线在轴上的截距互为相反数．
17、解（1） (2)或

18、过点P(4,2)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点．
（1）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
（3）当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．
18、解(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2).
令y=0,得x=;令x=0,得y=1-2k.
∴A、B两点坐标分别为A(,0),B(0,1-2k).
∵A、B是l与x轴、y轴正半轴的交点,
∴
S△ABC=·|OA|·OB|=··(1-2k)=(4--4k).
由-＞0,-4k＞0,有--4k≥2=4.
当且仅当-=-4k,即k=-时,--4k取最小值4.
∴S△AOB的最小值为×(4+4)=4.
此时l的方程是y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
(2)解法一:∵A(,0),B(0,1-2k)(k＜0＝,
∴截距之和为+1-2k=3-2k-=3+(-2k)+(-)≥3+2=3+2.
此时-2k=-,即k=-.故截距之和的最小值为3+2.
此时l的方程为y-1=-(x-2).
(3)解法一:∵A(2-,0),B(0,1-2k)(k＜0),
∴|PA|·|PB|=·=2［+(-k)］≥4.
当且仅当-k=-,即k=-1时上式等号成立.
故|PA|·|PB|的最小值为4.此时直线l的方程为x+y-3=0.

19、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
y
9．解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件
3x+2y=16
x+y=7
3x+5y=27
A
B
C
2.5x+4y=0
O
即
作直线，平移直线至，
x
当 经过C点时，可使达到最小值。
由 即，
此时，
答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。

20、已知圆和直线
（1）当圆与直线相切时，求圆关于直线的对称圆方程；
（2）若圆与直线交于两点，且以为直径的圆经过原点，求的值.
20、解：（Ⅰ）， （2分）
设关于直线的对称点，则， （5分）
故所求圆的方程为： （6分）
（Ⅱ）法1：假设存在使以为直径的圆经过原点，则,设，连立得 （8分）
，（11分）
且符合，存在 （12分）
法2：（圆系）设圆方程 圆心代入直线l得
圆过原点得，检验满足

21、如图，在平面直角坐标系中，已知曲线由圆弧和圆弧相接而成，两相接点、均在直线上．圆弧的圆心是坐标原点，半径为；圆弧过点．
(1)求圆弧所在圆的方程；
(2)曲线上是否存在点，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
21、解：由题意得，圆弧C 1 所在圆的方程为x 2 ＋y 2 ＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C 2 过点A(29，0)，设圆弧C 2 所在圆方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx＋Ey＋F＝0，
则 ，解得
所以圆弧C 2 所在圆的方程为x 2 ＋y 2 －28x－29＝0.
(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝ PO，得(x－29) 2 ＋y 2 ＝30(x 2 ＋y 2 )，即x 2 ＋y 2 ＋2x－29＝0.由 解得x＝－70(舍去)；由 解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．

22、已知圆和点．
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
22、解（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；     1分
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：．                        
综上，切线的方程为：或                               4分
（2）点到直线的距离为：，
又∵圆被直线截得的弦长为8 ∴              7分
∴圆M的方程为：                                     8分
（3）假设存在定点R，使得为定值，设，，
∵点P在圆M上 ∴，则          10分
∵PQ为圆O的切线∴∴，
即
整理得：（*）
若使（*）对任意恒成立，则                     13分
∴，代入得：整理得：，解得：或  ∴或∴存在定点R，此时为定值或定点R，此时为定值．      16分