源于三道高考题的断想.doc

源于2010年两道高考选择题的断想
王宝清
（湖北省房县一中 442100）
寒假的一天，再次将2010年高考所有的数学试题浏览了一遍。之后的一段时间内一直有如下的两道高考题无意识的在大脑里饶来饶去，仿佛是要透过考题说明抑或是告诉我一些什么似的。是些什么呢？猜不透也放不下，断想如下：
一、两道高考题
高考题1(2010年重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
只有1个 恰有3个 恰有4个 有无穷多个
高考题2(2010年全国 II理)如图1，与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ ）
图4

有且只有1个 有且只有2个 有且只有3个 有无数个

图3

图1

图2

二、断想
两考题虽题小平凡，但值得研究、品味。考查对异面直线、点到直线的距离等概念的理解、点到直线的距离的求法、空间想象能力、直觉思维能力、问题的转化与化归能力及知识的迁移能力等，涉及到解析几何与立体几何的 “交汇”，选项设置体现了“多思考一点，少运算一点”的命题理念。
断想1：两道高考题出自同一人之手
注意到高考题2中三条棱、、所在直线是两两互相垂直的异面直线，则可认为高考题2是高考题1的引申或变式，从而两高考题的题设、设问方式和选项设置等都呈现相同的特点，因此，我们有理由认为高考题1、高考题2是出自同一人之手，还显现出命题人的主要研究方向及深入程度。
断想2：选项设置合理
高考题中选择题的选项设置是经得起考究的，体现出命题人对问题的研究水准与数学素养。下面以高考题1为例说明选项设置合理性。
提到“两互相垂直的异面直线”，部分考生想到的有可能是图2，可借助考生的这一心里设置选项“只有1个”；大部分考生想到的图形可能是正方体中的棱或对角线，如图3正方体的棱、所在直线，并观察出的中点及点、符合题设，可能有考生还能观察出棱的中点也符合题设，则设置选项“恰有3个”、“恰有4个”就不难理解了（其它情形从略）。
参考

实际上，提到“两互相垂直的异面直线”想到的图形是图3正方体中的棱、所在直线，且观察出的中点及点、符合题设后，可进一步解读出面内的点、到直线的距离实际上就是到点的距离，面内的点、到直线的距离实际上就是到点的距离的话，则由此易知符合条件的一部分点构成如图4所示的两条抛物线（另还有两条过公垂线的中点，垂直于公垂线且和两相互垂直的异面直线成角的直线：为便于视图，直线及其探讨从略，至于还有没有符合题设的其它点有待进一步探讨，也从略__见参考图）。由此不难理解选项设置为“有无穷多个”的合理性，进而说明高考题1的选项设置不仅合理，还体现出命题智慧及命题人对高考选拔功能的把握，体现了“多思考一点，少运算一点”的理念与解题追求，沟通了立体几何与解析几何的联系，有很好的导向性，是一道不可多得的好题！

图6

图5

参考图

P
E
F
M
N

断想3：似曾相识——高考题1索源
提到“到两直线距离相等的点” 很容易联想到一道典型的高考题（解略）：
高考题3（2004年高考北京文）如图5，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）
直线 圆 双曲线 抛物线
值得注意的是高考题3中的直线与直线为“两互相垂直的异面直线”，只是没有明确表述出来而已。于是，高考题3可解读为：
“如图5，在正方体中，是侧面内一动点，若到两互相垂直的异面直线、的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）
直线 圆 双曲线 抛物线”
由此可知，高考题1实际上就是高考题3引申后或变式，我们还有理由认为高考题1~3也是出自同一人之手，并显现出命题人的主要研究方向及不同时期对同一问题研究的深入程度。可以肯定地说，在2004年高考后的数学教学特别是高三数学复习中，学生和老师都会把高考题3作为典型例子加以研究。如果研究时做了上述解读，则2010年高考时考生一看到高考题1高考题2便能立即作出正确选择，进而为后续问题的作答赢得时间。
断想4：无怨无悔___如果老师和学生都这样做了
正方体是空间图形中最重要、最特殊且内涵最丰富的几何体之一，以正方体为载体结合相关知识点可以设计出丰富多彩的数学问题。在教与学了异面直线、线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、线面距等相关知识点后，老师和学生都可以以正方体为载体做一些有意义的思考或探索，从而至少可得出如下结论：
设正方体（不妨记为）的棱长为，则有
⑴在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的三个顶点的三点组有个；
⑵在正方体的8个顶点中，每两点连成一条直线，其中异面直线共有对；
⑶在正方体的8个顶点中，每两点连成一条直线，其中互相垂直的异面直线共有对；
⑷正方体的任一条棱所在的直线和其对棱相交的四条棱所在的直线均异面垂直且异面直线间的距离为；
⑸正方体的任一体对角线与不共点的面对角线均异面垂直且异面直线间的距离为；
⑹在正方体的棱上取点，
①若，则点到两垂直异面直线、的距离分别为、；
②若，则点到两垂直异面直线、的距离分别为、；
③若，则点到两垂直异面直线、的距离分别为、；
⑺正方体体对角线上任一点到和该对角线不共点的任意三条异面直线的距离相等；
⑻正方体体对角线上任一点到共该对角线端点的三个面的距离相等；
⑼到两两垂直的三个平面距离相等的点有无数多个；
⑽在正方体中，
①若是侧面内一动点，且到两互相垂直的异面直线、的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是抛物线；
②若是平面或平面内一动点，且到两互相垂直的异面直线、的距离相等，则动点的轨迹是两条抛物线；
③若到两互相垂直的异面直线、的距离相等，则动点的轨迹是两条抛物线和两条直线；
④到棱、、所在直线的距离相等的点有无数个；(2010年全国 II理)；
⑾过正方体一顶点的体对角线与以该点为公共点的三个面所成的角相等（其正切值为）；
⑿过正方体一顶点作直线，使与以该点为公共点的三个面所成的角相等，这样的直线可以作4条；
⒀过正方体一顶点的体对角线与从该点出发的三条棱所成的角相等（其正切值为）；
⒁过正方体一顶点作直线，使与从该点出发的三条棱所在的直线所成的角相等，这样的直线可以作4条(2010年江西理)；
⒂……
不管是从老师还是从学生的角度看，高考题1高考题2给人的感觉都应该是不难。在教与学了异面直线、线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、线面距等相关知识点后，如果老师和学生以正方体为载体做了如上⑴~⒁等那样的思考或探索的话，则高考时学生面对高考题1~2是会轻松得到正确选项的，如果这样做了高考时高考题1~2仍然没有得出正确选项也就而无怨无悔了！
断想5：启示
研究专题化。教学研究是一线教师的常态性工作，学科组成员每人只研究一个专题，做到深入、有效，成果共享，以提升教学或复习的有效性（不单打独奏或样样过关）。
高境界解题。一个数学问题的解决或处理，反映出一个人对相关数学知识的理解、把握程度，折射出一个人的思维品质、能力层面，反映出一个人的数学素养等。解选择题不能只满足于“只求应试，不求深入”，而应该体现解题智慧，追求高境界解题，即不能只满足于用排除法间接获得正确选项，而应该从能力提高层面着眼，依据题设，通过计算或推理，直接肯定所给四个选项中的一个是正确的，真正使学生“知其然，也知其所以然”__因为“数学是清楚的”（数学.人教A版主编寄语）。
注重挖掘教材中例、习题及典型高考题的潜在教学功能。教材中的例题、习题及典型高考题是编者及命题者精心挑选、再三酝酿后确定的，其教育教学功能是值得研究和开发的，教师在教学时应该注意横向拓宽、纵向深入，引导学生钻研这些例、习题及典型高考题，让有些看似简单的教学资源体现出更多的教育教学价值，切忌就题论题，照本宣科，更不能囫囵吞枣，否则就会遗憾地丧失培养学生自主探究能力和科学精神的好机会。