二项式概念及习题.doc

二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________(k，n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．
2．二项式系数的性质
(1)对称性
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，____________，…，C＝C.
(2)增减性与最大值
二项式系数C，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．
当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.

　()在的二项展开式中，x的系数为(　　)
A．10 B．－10 C．40 D．－40
　(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第＋1项 B．第n项
C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
　()使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
　设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
　设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为_______．
类型一　求特定项
1.　(1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为(　　
(2)已知在的展开式中，第6项为常数项，求含x2项的系数及展开式中所有的有理项．

【评析】①所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时，先准确写出通项Tr＋1＝Can－rbr，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可．②求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n的范围分析．

　(1)()已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
(2)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．

类型二　展开式的系数和问题
　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)＋＋＋…＋.

【评析】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

　(1)()若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5, 其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________．
(2)设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝__________.
类型三　系数最大项问题
　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.
(1)求的二项式系数最大的项；
(2)求的展开式系数最大的项．

【评析】(1)求二项式系数最大项：①如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；②如果n是奇数，则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组从而解出r，即得展开式系数最大的项．

　(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

类型四　特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
1.　求(x>0)的展开式经整理后的常数项．

【评析】三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或者用解法二化为计数问题．

2　展开式中的常数项是______．
总结：1．通项公式主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：
(1)Can－kbk是第k＋1项，而不是第k项．
(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．
(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．
2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定．
3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．
4．二项式定理的应用
(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．
(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．
(3)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．
5．用二项式定理处理整除问题时，首先把问题转化为二项式(a＋b)n，且一般情况下a，b之一必为除数的整数倍，而另一数为1或－1，其次要分清余项，写出余项，从而得到余数．

二项式定理习题
1．()(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)
A．42 B．35 C．28 D．21
2．(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．()“n＝5”是“(n∈N*)的展开式中含有常数项”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．()若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
5．()设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0 C－1 D．－2
7．()若的展开式中x4的系数为7，则实数a＝____________．
8．()已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是____________．
9．用二项式定理证明(n＋1)n－1可以被n2整除(n∈N＋)．

10．已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10∶1.求：
(1)展开式中各项系数的和；
(2)展开式中系数最大的项．
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11. (1)已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，求a1＋a3＋a5＋…＋a13的值．
(2)已知(x＋1)2(x＋2)2011＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a2013(x＋2)2013，求＋＋＋…＋的值．