用函数方法解决不等式和方程问题.doc

由数引形，以形助数
----数形结合解决不等式和方程问题
江苏省扬中高级中学 王海棠
函数有两种主要表示方法：解析法和图像法。解析法是通过“数（式）”的形式准确地表示出函数的自变量和应变量之间的等量关系，而图像法是从“形”的角度直观形象地刻画了函数的变化规律。这两种表示方法是同一个函数的两种不同表现形式，这也就决定了我们对函数的研究要多从这两个角度入手，让这两者相辅相成。而不等式和方程其实就是在不等号和等号的两侧放置不同的函数，一般出题的形式是以研究这两个函数表达式之间的关 系为主，解决这类问题需要由数（式）引形，以形助数即用数形结合的方法解决这类问题。 下面就举例说明如何用这一思想方法解决函数中常见的含有参数的不等式恒成立，不等式存 在问题，以及函数的零点等相似，相通的问题。
一．不等式存在和恒成立问题
例1. 已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围。
【解析】该不等式有四种等价形式：
①不变形：
②参变分离：
③移项让不等式的一边为0：
④不等号两侧均为常见初等函数：
不管是哪种变形形式，均是研究左侧函数图像存在位于右侧函数图像下方的部分。故只要能够模拟出两函数的图像，就能解决这个问题。上面四种变形对应的各自解法如下：
解法一：由第一问可知：当时，单调递增；是斜率为1，纵截距为的动直线。由图观察可知，当动直线与的图像相切为临界位置。令此时；故
解法二：令，易求得当当，单调递增；所以，
解法三：参数在常数项上，故左侧函数的单调性与解法二中相同，解法同上
解法四：令，由图像观察可知当直线与对数函数相切时有临界值，同解法一。
上述四种解法，解法一是顺着第一问的解题思路而来，自然而然；解法二和三右侧均是常函数，左侧函数的图像只要能模拟出来，就很容易的找到位置关系；解法四是以初等函数的图像为前提，但也有一者为直线型函数，便于考察两图像的位置关系。这四种解法本质上来讲均是通过函数表达式来确定函数的图像，数形结合求解，要“以形助数”；但到底是哪两个函数的图像就看原不等式如何变形，要“由数（式）引形”。

例2. 已知函数，求所有的实数，使得对任意时，函数f(x)的图像恒在函数的图像的下方。
【解析】原命题等价于①②③④
即对任意的恒成立。
其中①和②均是研究具体常函数与带参函数的图像关系，但是分类讨论是学生不易掌握的；③是研究两初等函数的图像，图像易画，但是临界关系难处理；④采用的是参变分离法，右侧定系数函数易求最值。求解略。

二．函数的零点问题
例3. 若是定义在上的奇函数，当，若函数f(x)在其定义域上有且仅有四个不同的零点，求实数a的范围。
【解析】原命题等价于当有两个不等的实根。该方程有三种不同的等价形式：①不变形：②两侧均为初等函数：③参变分离：
只需要考察两侧函数图像的交点个数即可。
解法一：令（1）若，则在上单调递增，显然不会与x轴有两个不同的交点，故舍去。（2）若单调递增，当单调递减；故，解得
解法二：由两初等函数的图像可知，当直线与相切是临界位置，直接可得
解法三：令单调递增，当单调递减，且当时，，，故
上述三类问题，其核心方法是相同的：由数（式）引形，以形助数，即数形结合。上述问题的出题形式也可以在这三者中随意转化，如例1可改成恒成立命题，也可改成方程根的个数问题。因此我们在函数的教学中，需要时刻向学生渗透“数形结合”的思想，提高学生的思维能力和数学素养，才能让学生不被“形”所累，起到事半功倍的效果。