山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试数学试题.doc

高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，共150分．

第Ⅰ卷（选择题 共52分）
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项是符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
1.已知集合，，则的子集共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知命题：，，若为假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则
A. B. C. D.
4.点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标
A. B. C. D.
5.已知函数对任意，都有，且，则
A. B. C. D.
6.设为第二象限角，若，则
A. B. C. D.
7.已知函数，若正实数满足，则的最小值为
A. B. C. D.
8.物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
9.已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知函数定义域为，且满足下列三个条件：①任意，都有；②；③为偶函数，则
A. B.
C. D.
11.下列命题正确的是
A. 若角（），则
B. 任意的向量，若，则
C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是
D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称
12.设是各项均为正数的数列，以，为直角边长的直角三角形面积记为，则为等比数列的充分条件是
A. 是等比数列
B. ， ， ,，或 ， ， ，，是等比数列
C. ， ， ,，和 ， ，， ，均是等比数列
D. ， ， ,，和 ， ， ，，均是等比数列，且公比相同
13.已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位得到函数的图像，则
A. B. 在有且仅有个解
C. 在单调递增 D. 在有且仅有个极值点
第Ⅱ卷（非选择题 共98分）
注意事项：
请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．在试题卷上答题无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
14.在等差数列中，若，，则_________.
15._________.
16.已知函数在单调递增，则实数的取值范围_________.
E
F
D
B
C
A

17.《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）.根据描述如图所示，其中点代表北门，处是木，点代表南门（，分别是所在边中点），则邑方边长为_________步.

三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
Q
P
B
A
C
18.（12分）如图，在山脚测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角.
求证：山高.

19.（12分）已知各项均为正数的数列前项和为，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
20.（14分）在中，角所对的边分别为，为钝角，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求边.
21.（14分）某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.
（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；
（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.

A
B

C
D
Q
M
O
P
第
21
题
图

22.（15分）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

其中，，，且表中的第一列数构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项构成的数列记为.
（I）求的前项和；
（II）记集合，若的元素个数为，求实数的取值范围.
23.（本小题满分15分）
已知函数.
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个零点，且.证明：
(i)；
(ii).
高三数学参考答案
一、选择题：第1～10题：B A B C D， A C C D B
11. BC；12. AD；13. ABD
二、填空题：
14.； 15.； 16.； 17.
三、解答题：
Q
P
B
A
C
18.（12分）

由题意可知，，，
-------------2分
分别在，中，
，，
所以， -------------4分
又,
-------------6分
在中，由正弦定理可得，， -------------8分
即，
， -------------10分
在中，
. -------------12分
19.（12分）解：（Ι）因为，
所以变形为
， -------------2分
，
，
所以为等差数列， -------------4分
， -------------5分
当，， -------------7分
当时也满足，
综上. -------------8分
（Ⅱ）

， -------------10分
. -------------12分
20.（14分）
解：（Ι）因为 ，
由正弦定理得， ①. -------------1分
因为，
所以, -------------3分
代入①式得，
；
化简得，，
因为，故， -------------4分
又， -------------5分
所以
因为为钝角，所以为锐角，所以为钝角， -------------6分
因为在单调递减，
所以，即. -------------7分
（Ⅱ）由正弦定理可知，， ， -------------8分
因为，得, -------------9分
所以，
整理得， -------------11分
-------------12分
，
为锐角，所以, -------------13分
由余弦定理可知，. -------------14分

21.（14分）
解：（Ⅰ）设矩形和的面积分别为，
由题意可得，
矩形的边长分别为， ， -------------2分
所以 ， -------------3分
等腰三角形的底与高分别为，， -------------4分
所以， -------------5分
N
A
B

C
D
Q
M
O
P
过作交圆弧于点，连接，
设（），
易得 -------------6分
因为均在线段上，所以 ，
所以，
即 ---------------7分

（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，
则年总产值为
------8分
设，且， -------------9分

， -------------10分
，得，因为，所以， -------------11分
当，，，在单调递增；
当，，，在单调递减. ----------13分
所以，能使年总产值最大. -------------14分
22.（15分）
解：（Ⅰ）第一列构成的等差数列公差为， -------------1分
所以第行的第项为， -------------2分
由此可知第行的第项，又为第行的第项，
所以每行的公比. -------------3分
由题意可知，第行共有项，且为第行的中间项，
所以为第行的第项，得. -------------5分
…①
①式各项乘以得，
…② -------------6分
①-②式得，

-------------8分
（Ⅱ） 设，
-------------9分
所以，当时， -------------11分
，
即，当时，， -------------12分
因为集合的元素个数为，
所以， -------------14分
即，. -------------15分
23.（15分）
解：（Ⅰ） -------------1分
当时，，所以在单调递减； -------------2分
当时，
，，所以在单调递减；
，，所以在单调递增. -------------3分
（Ⅱ）证明：(i)当时，在单调递减，
至多一个零点， -------------4分
所以要使有两个零点，
一定有且，
，
解得， -------------5分
，即
又，可知， -------------6分
又因为，，
所以. -------------7分
(ii)因为，，
要证，即证， -------------8分
因为在单调递减，
即证，又，
即证， -------------9分

-------------10分
因为，得， -------------11分
所以

-------------12分
令，，
，
所以在单调递增， -------------13分
又，所以，
， -------------14分
所以，，
综上可知，. -------------15分
法二：，所以，，所以，
要证，即证，即证，即证，
即证，即证，即证，，令，，，在单调递减，，即证，
即证，，即证，，，所以在递增，而，所以，即