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微讲座(二)——求解平衡问题的四种特殊方法
求解平衡问题的常用方法有合成与分解法、正交分解法、图解法、整体与隔离法，前面对这几种方法的应用涉及较多，这里不再赘述，下面介绍四种其他方法.
一、对称法
某些物理问题本身没有表现出对称性，但经过采取适当的措施加以转化，把不具对称性的问题转化为具有对称性的问题，这样可以避开繁琐的推导，迅速地解决问题．
　(单选)(2015·广州综合测试)如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞．用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1＜l2，匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、F2，则(　　)

A．F1＜F2　　　　　　 B．F1＞F2
C．F1＝F2＜G D．F1＝F2＞G
[解析]　物体受重力和悬绳拉力作用处于平衡状态，由对称性可知，每条悬绳拉力的竖直分力为，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有Fcos θ＝，解得F＝，由于无法确定ncos θ是否大于1，故无法确定拉力F与重力G的关系，C、D错误；悬绳较长时，夹角θ较小，故拉力较小，即F1＞F2，A错误，B正确．
[答案]　B
二、相似三角形法
物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到对应边成比例的关系式，根据此式便可确定未知量．
　如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，mA＝4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长．

[解析]　采用隔离法分别以小球A、B为研究对象并对它们进行受力分析(如图所示)，可以看出如果用正交分解法列方程求解时要已知各力的方向，求解麻烦．此时采用相似三角形法就相当简单．

△AOE(力)∽△OAC(几何)，
T是绳子对小球的拉力．
＝①
△BPQ(力)∽△COB(几何)，
＝②
已知L1＋L2＝L③
由①②③解得：L1＝，L2＝.
[答案]　　
三、正弦定理法
三力平衡时，三力合力为零．三个力可构成一个封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可由正弦定理列式求解．
　(2015·河南南阳一中月考)如图所示，小球被轻质细线系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m，斜面倾角为α＝30°，细线与竖直方向夹角为θ＝30°，斜面体的质量为M＝3m，置于粗糙水平面上．重力加速度为g.求：
(1)当斜面体静止时，细线对小球拉力的大小；
(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向；
(3)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的K倍，为了使整个系统始终处于静止状态，K必须满足什么条件？
[解析]　(1)对小球受力分析，其受重力G、支持力F、细线的拉力T，则有：＝＝，
可得：T＝F＝mg.
(2)以小球和斜面体整体为研究对象，受力分析，由于系统静止，则：
Ff＝Tsin 30°＝mg，方向水平向左．
(3)对小球和斜面体整体受力分析，由平衡条件：
FN＋Tcos 30°＝(M＋m)g＝4mg
所以：FN＝
又由题意可知：Ffmax＝KFN≥Ff，
即K≥mg，所以K≥.
[答案]　(1)mg　(2)mg，水平向左　(3)K≥
[名师点评]　相似三角形法和正弦定理法都属于数学解斜三角形法，只是已知条件不同而已．若已知三角形的边关系选用相似三角形法，已知三角形的角关系，选用正弦定理法．

四、三力汇交原理
物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力必为共点力．
　如图所示，重为G的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求：

(1)链条两端的张力大小；
(2)链条最低处的张力大小．

[解析]　(1)整个链条受三个力作用而处于静止，这三个力必为共点力，由对称性可知，链条两端受力必大小相等，受力分析如图甲．
由平衡条件得：2Fsin θ＝G
F＝.

(2)在求链条最低处张力时，可将链条一分为二，取一半链条为研究对象．受力分析如图乙所示，由平衡条件得水平方向所受力为
F′＝Fcos θ＝cos θ＝cot θ.
[答案]　(1)　(2)

[学生用书P38]

1.(单选)(2015·杭州二中高三质检)如图所示，起重机将重为G的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力大小为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.

解析：选D.设每根钢索的弹力大小为T，将重力分解如图所示，则T＝F1＝＝，故D正确．

2．(单选)(2015·陕西宝鸡质检)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，轻杆B端吊一重物G，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉(均未断)，在AB杆达到竖直前，以下分析正确的是(　　)

A．绳子越来越容易断 B．绳子越来越不容易断
C．AB杆越来越容易断 D．AB杆越来越不容易断
解析：选B.以B点为研究对象，它受三个力的作用而处于动态平衡状态，其中一个是轻杆的弹力T，一个是绳子斜向上的拉力F，一个是绳子竖直向下的拉力F′(大小等于物体的重力mg)，根据相似三角形法，可得＝＝，由于OA和AB不变，OB逐渐减小，因此轻杆上的弹力大小不变，而绳子上的拉力越来越小，选项B正确，其余选项均错误．
3．(单选)(2015·郑州一中高三月考)如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且OA之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2之间的大小关系为(　　)

A．F1>F2 B．F1＝F2
C．F1<F2 D．无法确定
解析：选B.如图所示，分析B球的受力情况，B球受重力、弹簧的弹力和绳的拉力，△OAB与△BDE相似，由于OA＝OB，则绳的拉力等于B球的重力，所以F1＝F2＝mg.

4．(单选)(2015·江西师大附中、临川一中联考)两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连放置在一个光滑的半球面内，如图所示，已知细杆长度是球面半径的 倍，当两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ＝15°，则小球a和b的质量之比为(　　)

A．2∶1 B.∶1
C．1∶ D.∶1
解析：选B.对a和b两小球，由平衡条件，＝，＝，联立解得＝，则B正确．
5.(单选)(2015·河南中原名校二联)在均匀棒的两端各系一轻绳，棒的上端的轻绳的另一端固定在天花板上，再将系下端的绳用力F拉到水平方向，上端的绳与水平面成α角，棒与水平面成β角而静止．则下面各式正确的是(　　)

A．tan α＝2tan β
B．sin α＝2sin β
C．cos α＝2cos β
D．sin α＝2cos β
解析：选A.由图知棒受重力G，上端绳拉力T，水平绳拉力F三力作用而平衡，知此三力为共点力，则将T和F反向延长与重力G交于O′点，因棒的重
心在棒的中点，则由几何关系知l1＝l2，tan α＝，tan β＝，联立解得：tan α＝2tan β，所以A项正确．
6.一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？

解析：对电灯受力分析如图所示，据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即T＝G①
在△OTBT中，∠TOTB＝90°－α
又∠OTTB＝∠TOA＝β，
故∠OTBT＝180°－(90°－α)－β＝90°＋α－β
由正弦定理得＝②
联立①②解得TB＝
因β不变，故当α＝β＝30°时，TB最小，且TB＝Gsin β＝G/2.
答案：30°