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一道2010年重庆高考题的解法探讨及索源
王宝清
（湖北省房县一中 442100）
一、考题赏析
高考题1(2010年重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
只有1个 恰有3个 恰有4个 有无穷多个
该考题虽题小平凡，但值得研究、品味。本题很好地考查了学生对异面直线、点到直线的距离等概念的理解、点到直线的距离的求法、空间想象能力、问题的转化与化归能力及知识的迁移能力等，涉及到解析几何与立体几何的 “交汇”，能够较好的体现解题智慧。
一般地，只要提到两互相垂直的异面直线，马上会想到正三棱锥、正方体中的棱或对角线，而正三棱锥又与正方体紧密相连，因此，该问题通常是放在正方体中去处理。表面上看，该考题是一个点的计数问题，而求解与点相关的问题首先关注的点便是端点、中点、等分点等，因此，排除法便成为老师和学生的流行。
图1

如图1，在正方体的在棱上取点，
连，则、为点到两异面直线、的距离，
设，，则，
令，则有，解得，
即点到两异面直线、的距离相等为，
同理可知在、、上分别存在点、、满足题设，
（易知四侧面的中心如点 也符合题设），于是排除选项、、，故选。
二、解法探讨
赏析给出了正确选项，但不能使人折服！符合题设的点不是、、三个选项之一，就一定是“无穷多个”吗？有没有可能是有限个呢？探求如下：
图2

仍然放在到正方体方体中处理。如图2，显然，
正方体的棱、所在直线异面垂直，
且公垂线段的中点及点、到两异面直线的距离分别相等，
故可排除选项。注意到：
面内的点、到直线的距离实际上就是到点的距离，
面内的点、到直线的距离实际上就是到点的距离，
图3

则问题就转化为：
“到定点的距离和到定直线（不过该定点）的距离相等的点（ ）
只有1个 恰有3个 恰有4个 有无穷多个”
由定义易知，符合条件的点的轨迹分别是在两个平面
（平面、平面）内的两条抛物线，
即符合条件的点有无穷多个，如图3，故选。
上述探讨有很强的说服力，是我们应该追求的探讨效果。在得到正确选项的同时，还从根本上回答了符合题设的点为什么不是有限个，而是无穷多个！
三、考题索源
提到立体几何中的轨迹问题，很容易联想到一道典型的高考题（解略）：
图4

高考题2（2004年高考北京文）如图4，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
直线 圆
双曲线 抛物线
值得注意的是高考题2中的直线BC与直线为“两互相垂直的异面直线”，只是没有明确表述出来而已。于是，该考题又可解读为：
“如图4，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到两互相垂直的异面直线BC、的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
直线 圆 双曲线 抛物线”
由此可知，高考题1实际上就是高考题2引申后的变式。可以肯定地说，在2004年高考后的数学教学特别是高三数学复习中，学生和老师都会把高考题2作为典型例子加以研究。如果研究时作了上述解读，则2010年高考时考生一看到高考题1便能会立即作出正确选择，进而为后续问题的作答赢得时间。