二项式定理教学案设计.doc

《二项式定理(一)》教学设计
设计人：五台实验中学 杨振华
一、教学目标
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广。
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程
（一）提出问题，引入课题
引入：二项式定理研究的是的展开式，如：，
那么的展开式是什么？
【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题。
（二）引导探究，发现规律
1、多项式乘法的再认识．
问题1. 的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2. 展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.
2、展开式的再认识
探究1：不运算，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4) 从上述三个问题，你能否得出的展开式？
探究2：仿照上述过程，请你推导的展开式。
【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。
(三) 形成定理，说理证明
探究3：仿照上述过程，请你推导的展开式。
——— 二项式定理
证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由k个选了b，n－k个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。
【设计意图】通过仿照、展开式的探究方法，由学生类比得出的展开式。二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式。
(四) 熟悉定理，简单应用
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有１项。
2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n。
各项的次数都等于n。
3. 二项式系数: 依次为，这里称为二项式系数。
4. 二项展开式的通项: 式中的叫做二项展开式的通项. 用表示。
即通项为展开式的第１项: =
变一变 （1） （2）
例. 求的展开式。
思考1：展开式的第3项的系数是多少？
思考2：展开式的第3项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第3项？
【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．
(五) 课堂小结，课后作业
小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）
1. 公式：
2. 思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式。
（2）用计数原理分析二项式的展开过程。
作业
巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3。
思维拓展型作业：二项式系数有何性质。

教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。
本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫。再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。
总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性。重视学生的参与过程，问题引导，师生互动。重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。