奥数提高班第一讲有理数的巧算(含答案).doc

第一讲 有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
　　1．括号的使用　　
　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
　　例1 计算下式的值：
　　211×555+445×789+555×789+211×445．

例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

2．用字母表示数
　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过
程变为(a+b)(a-b)=___________
　　于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________
　　这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明
过程，可直接利用该公式计算．

例3 计算 3001×2999的值．

练习1 计算 103×97×10 009的值． 练习2 计算：

练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

练习4 计算：

　．

3．观察算式找规律
　　例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

　　例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

　　例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．

　　例7 计算：

练习一
1．计算下列各式的值：
　　(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；
　　(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
　　(3)1991×1999-1990×2000；
　　(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

　　(6)1+4+7+…+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第一讲 有理数的巧算答案

例1 计算下式的值：
　　211×555+445×789+555×789+211×445．
　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第
一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789
　　　　 　=211×1000+1000×789
　　　　 　=1000×(211+789)
　　　　 　=1 000 000．
　　说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
　　所以，所求最小非负数是1．
　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

例3 计算 3001×2999的值．
　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)　=1800-1=1799，
　　平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
　　分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
　　解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999． ①
　　 再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1． ②
　　 将①，②两式左右分别相加，得
　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
　　　=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)
　　　=2000×500．
从而有 S=500 000．

例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
　　分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
　 　解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①
　　 所以
5S=5+52+53+…+5100+5101． ②
　　 ②—①得
4S=5101-1，

例7 计算：

　　分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
　　解 由于

　　 所以

　　说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．