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计算题专练(九)
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24．(12分)如图1，两平行金属导轨位于水平面上，相距l，左端与一阻值为R的电阻相连．整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下．—质量为m、电阻为r的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好．已知电阻R消耗的功率为P，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，导轨的电阻可忽略．求：

图1
(1)导体棒匀速运动的速率v；
(2)水平外力F的大小．
答案　(1)　(2)μmg＋Bl
解析　(1)设回路中的电流为I，对电阻R，
有P＝I2R
导体棒产生的电动势为E＝Blv
根据闭合电路欧姆定律得I＝
联立可得导体棒匀速运动的速率
v＝.
(2)导体棒在磁场中匀速运动，受力平衡，
则F＝μmg＋BlI
联立可得：F＝μmg＋Bl.
25．(20分)如图2，倾角θ＝37°的直轨道AC与圆弧轨道CDEF在C处相切且平滑连接，整个装置固定在同—竖直平面内．圆弧轨道的半径为R，DF是竖直直径，O点为圆心，E、O、B三点在同一水平线上．A、F也在同一水平线上，两个小滑块P、Q(都可视为质点)的质量都为m.已知滑块Q与轨道AC间存在摩擦力且动摩擦因数处处相等，但滑块P与整个轨道间和滑块Q与圆弧轨道间的摩擦力都可忽略不计．同时将两个滑块P、Q分别在A、B两点由静止释放，之后P开始向下滑动，在B点与Q相碰．碰后P、Q立刻一起向下且在BC段保持匀速运动，已知P、Q每次相碰都会立刻合在一起运动但两者并不粘连，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取重力加速度为g，求：

图2
(1)两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道的压力的最大值．
(2)滑块Q在轨道AC上往复运动经过的最大路程．
答案　(1)3.8mg　(2)R
解析　(1)滑块P下滑至与Q相碰前瞬间，由机械能守恒定律得mgR＝mv
P、Q碰后合在一起运动，碰撞瞬间由动量守恒定律得
mv1＝2mv2
P、Q一起由C点运动至D点过程，有
2mgR(1－cos θ)＋·2mv＝·2mv
经过D点时对圆弧轨道的压力最大，有
FND－2mg＝2m
由牛顿第三定律可知，两滑块对圆弧轨道的最大压力
FND′＝FND
联立解得
FND′＝3.8mg
(2)由(1)中计算可知，P、Q整体在D点的动能
·2mv＝0.9mgR<2mgR
因此它们在圆弧轨道上运动的最高点在E点下方，之后沿轨道返回，再次到达C点的速度大小仍为v2.从C点上滑后P、Q分离，Q比P先到达最高点，且Q运动到最高点时停下．设P、Q上滑的最大位移分别为xP、xQ.对P、Q，由动能定理分别可得
－mgsin θ·xP＝0－mv
－(mgsin θ＋Ff)·xQ＝0－mv
由P、Q碰后一起匀速下滑可知Q受到的滑动摩擦力大小
Ff＝2mgsin θ
P再次从最高点下滑至第二次碰Q前，有
mgsin θ(xP－xQ)＝mv
P、Q碰后一起运动，有
mv3＝2mv4
P、Q从C点上滑到第二次从C点进入圆弧轨道，Q克服摩擦力做的功Wf＝Ff·2xQ
而P、Q碰撞损失的机械能为：
ΔE＝mv－·2mv
由以上各式解得Q克服摩擦力做的功与P、Q碰撞损失的机械能之比为：
＝
P、Q此后多次进入直轨道AC的运动过程遵循同样的规律，直到最后到达C点的速度减为0，因此从P、Q第一次回到直轨道AC运动到最后不再进入为止，Q克服摩擦力做的功为：
Ffl＝·×2mv
滑块Q在轨道AC上往复运动经过的最大路程为lm，则
lm＝l＋
联立解得lm＝R.