高二数学周测1解析.docx

高二数学周测
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解：直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．故选B．
2、已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的倾斜角等于(　　)
A．　　　　　B． C． D．π
答案 D
解析 斜率k＝＝－，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝π.
故选D.
3、直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．[0，] B．[，π) C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)
解：因为直线的斜率k＝－，所以－1≤ k＜0，则倾斜角的取值范围是[，π)．故选B．
4、已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 (　　)
A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1
解：由题意知a≠0，得a＋2＝，所以a＝－2或a＝1．故选D．
5、若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 (　　)
A． B．－ C．－ D．
解：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－．故选B．
6、在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 (　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y－10＝0
C．3x－y＝0 D．3x＋y－6＝0
解：因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，即kAB＝－kOA＝－3．所以直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0．故选D．
7、如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)

A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2
答案 D
解析 直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.
8、已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－4]∪ B．C． D．
解：如图所示，因为kPN＝＝，

kPM＝＝－4．
所以要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
由已知得k≥或k≤－4．故选A．
9、过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有 (　　)
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
解：设直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则l的方程为＋＝1，又点P(－2，2)在l上，所以＋＝1，
即2a－2b＝ab，①
又直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则－ab＝8，② 且a＜0，b＞0，③
由①②③得a＝－4，b＝4，故符合条件的直线只有1条．故选C．
10、直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
解：由题意有＝≠，故m＝2或－3．故选C．
11、已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，解得a＝±1．
显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A．
12、已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为(　　)
A．0 B．2 C．4 D．
解：由已知得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，即a2＋b2＝4．因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝b＝±时取“＝”，即ab的最大值为2．故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、设向量，，若，则=________5
14、若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－2,1)
解析 k＝tanα＝ ＝. ∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.
15、已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线l的方程为_________________________．
解：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k＝－，直线方程为x＋2y＝0．
②若a＝3b≠0，设直线方程为＋＝1，即＋＝1．由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－．
从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0．
综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．
故填x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．
16、若直线过点，则的最小值为
8【解析】由题意有，所以．
当且仅当，即，时等号成立．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，
B(5，1)，∠A＝，∠B＝．求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC和BC边所在直线的方程．
解：(1)AB边所在直线的方程为y＝1．
(2)因为∠A＝，AB∥x轴，
所以直线AC的倾斜角为，斜率为，所以AC所在直线的方程为x－y＋1－＝0，
因为∠B＝，所以直线BC的倾斜角为，所以斜率为－1，所以BC所在直线的方程为x＋y－6＝0．

18、（本小题满分12分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
所以a＝2，方程即为3x＋y＝0．
当直线不过原点时，a≠2，由截距存在且均不为0，
所以＝a－2，即a＋1＝1．
所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0．
因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
所以所以a≤－1．
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
19、（本小题满分12分）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l过定点(－2，1)．
(2)当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，所以k≥0．
(3)由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．依题意得解得k>0．
因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝且k>0，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
20、（本小题满分12分）的内角A,B,C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求．
解：（1）由题设及余弦定理得，
解得（舍去），，从而.的面积为
（2）在中，，所以
，故.
而，所以，故.

21、（本小题满分12分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
（1）．
（2）
．

22、（本小题满分12分）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若在区间上的最大值为，求的最小值．
(1)
，
所以的最小正周期为．
(2)由(1)知．
因为，所以．
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．
所以，即．所以的最小值为．