江西省南昌二十八中教育集团2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷含解析.doc

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共6小题）
1．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　）
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
2．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣7的对称轴是（　　）
A．y轴 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝﹣7
3．把抛物线y＝﹣2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
4．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（　　）

A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③a+c＞0；④9a+3b+c＜0．
其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
二．填空题（共6小题）
7．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是　 　．
8．若点（2，﹣5）、（6，﹣5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是　 　．
9．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝　 　．
10．烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为　 　．
11．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝：将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2．此时AP2＝1+：将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝　 　，…按此规律继续旋转，直至得到点P2019为止，则AP2019＝　 　．

12．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在坐标轴上，则b的值为　 　．
三．解答题（共13小题）
13．x2+4x﹣2＝0．
14．4x2﹣3＝12x（用公式法解）
15．解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
16．解方程：x2﹣3x+2＝0．
17．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两根为x1、x2且x12+x22＝7，求m的值．
18．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
20．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点．
（1）以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．

21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？

22．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2？
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻，PQ长为，如果存在，求出运动时间t．

23．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　）
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
【分析】直接去括号进而移项，得出答案．
【解答】解：x（x+1）＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选：D．
2．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣7的对称轴是（　　）
A．y轴 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝﹣7
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h即可确定．
【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2﹣7
∴对称轴是直线x＝﹣3
故选：C．
3．把抛物线y＝﹣2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝﹣2（x+2）2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣2（x+2）2﹣3．
故选：B．
4．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（　　）

A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
【分析】根据函数图象写出直线y＝1以及上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图象可知，﹣1≤x≤3时，y≥1．
故选：A．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③a+c＞0；④9a+3b+c＜0．
其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＝﹣2a，b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；根据x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，即a+c＜b，这样可对③进行判断；根据抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b＜0，所以③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，而抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）在之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，所以④正确．
故选：B．
6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
【分析】首先根据点A在抛物线y＝ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝a×（﹣2）2，
解得：a＝1
∴解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），
∴OB＝OD＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y＝2，得2＝x2，
解得：x＝±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是　﹣1　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x＝﹣1代入方程即可解．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣2mx+1＝0可得1+2m+1＝0，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．若点（2，﹣5）、（6，﹣5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是　直线x＝4　．
【分析】观察出两点的纵坐标相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】解：∵点（2，﹣5），（6，﹣5）的纵坐标都是﹣5，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝4．
故答案为直线x＝4．
9．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝　　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴b＝﹣1，a＝2，
∴ab＝2﹣1＝．
故答案为：．
10．烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为　4s　．
【分析】将抛物线的解析式化为顶点式就可以直接求出答案．
【解答】解：∵，
∴h＝﹣（t﹣4）2+41．
∴t＝4时，h最大＝41．
故答案为：4s．
11．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝：将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2．此时AP2＝1+：将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝　2+　，…按此规律继续旋转，直至得到点P2019为止，则AP2019＝　1346+673　．

【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1＝，AP2＝1+，AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2；AP7＝4+3；AP8＝5+3；AP9＝6+3；每三个一组，由于2018＝3×672+2，得出AP2018，即可得出结果．
【解答】解：AP1＝，AP2＝1+，AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2；AP7＝4+3；AP8＝5+3；AP9＝6+3；
∵2018＝3×672+2，
∴AP2015＝1342+672+1＝1343+672，
∴AP2016＝1343+672+1＝1344+672，
∴AP2017＝1344+672+1＝1345+672，
∴AP2018＝1345+672+＝1345+673，
∴AP2019＝1345+672+1＝1346+673，
故答案为：2+；1346+673．
12．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在坐标轴上，则b的值为　b＝0或b＝±6　．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标，再结合条件可得到关于b的方程，可求得b的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣bx+9＝（x﹣）2+9﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，9﹣），
∵抛物线顶点在坐标轴上，
∴＝0或9﹣＝0，解得b＝0或b＝±6，
故答案为b＝0或b＝±6．
三．解答题（共13小题）
13．x2+4x﹣2＝0．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x+4＝6，
∴（x+2）2＝6，
∴x＝﹣2±
14．4x2﹣3＝12x（用公式法解）
【分析】利用公式法求解可得．
【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3＝0，
∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
∴△＝144﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
则x＝＝．
15．解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得：x1＝3或x2＝．
16．解方程：x2﹣3x+2＝0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
17．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两根为x1、x2且x12+x22＝7，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2，结合x12+x22＝7可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即（1﹣2m）2﹣2m2＝7，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝3．
又∵m≤，
∴m＝﹣1．
18．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式得：4a+4＝0，即a＝﹣1，
则函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1．
19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．

（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
20．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点．
（1）以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．

【分析】（1）利用旋转的性质得出△ABE′的位置；
（2）根据全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△AE′F（SAS），以及EF＝E′F＝BF+DE，进而得出EF+EC+FC＝BC+CD．
【解答】解：（1）如图所示：△ABE′即为所求；

（2）作∠EAE′的平分线交BC于点F，则△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，
在△AEF和△AE′F中
∵，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F＝BF+DE，
∴EF+EC+FC＝BC+CD．

21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？

【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+6，再有条件求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a＝﹣．
抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．

（2）根据题意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2？
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻，PQ长为，如果存在，求出运动时间t．

【分析】（1）根据题意用x表示出CP、CQ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）设经过x秒，△CPQ的面积等于3cm2，
由题意得，x（8﹣2x）＝3，
化简得x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
答：经过1秒或3秒，△CPQ的面积等于3cm2？
（2）设存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积，
则t（8﹣2t）＝××6×8，
化简得，t2﹣4t+12＝0，
b2﹣4ac＝16﹣48＝﹣32＜0，
故方程无实数根，即不存在满足条件的t；
（3）由题意得，（8﹣2t）2+t2＝（）2，
整理得，5t2﹣32t+35＝0，
解得，t1＝5（不合题意，舍去），t2＝1.4，
答：运动时间为1.4秒时，PQ长为．
23．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？
【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；
（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有
，
解得．
故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；
（2）依题意有：
（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，
整理，得150a2﹣180a＝0，
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，

（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，

（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，
∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．

方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝

25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线解析式为：
y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）
或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；

（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝
＝﹣+
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）．