小学奥数典型题-.doc

◆ 归一问题
【含义 】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单
一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一
问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量
1 份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要
求的数量。

例 1 ：买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多
少钱？
解（ 1 ）买 1 支铅笔多少钱？ 0.6÷ 5 ＝0.12（元）
（ 2 ）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12× 16 ＝1.92（元）
列成综合算式 0.6÷ 5 × 16 ＝0.12× 16 ＝1.92（元）
答：需要 1.92 元。

例 2 ：3 台拖拉机 3 天耕地 90公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？
解（ 1 ）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 90 ÷ 3 ÷ 3 ＝ 10
（公顷）
（ 2 ）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 10 × 5 × 6 ＝ 300
（公顷）
列成综合算式 90 ÷ 3 ÷ 3 × 5 × 6 ＝ 10 × 30 ＝300
（公顷）
答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。

例 3： 5辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 10 5吨钢材，需要运几次？
解 （ 1 ）1 辆汽车1 次能运多少吨钢材？ 100 ÷ 5 ÷ 4 ＝ 5
（吨）
（ 2 ）7 辆汽车1 次能运多少吨钢材？ 5 × 7 ＝ 35 （吨）
（ 3 ）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105 ÷ 35 ＝ 3
（次）
列成综合算式 105 ÷（100÷ 5 ÷ 4 × 7 ）＝ 3 （次）
答：需要运 3 次。

◆ 归总问题
【含义 】 解题时，常常先找出“总数量 ” ，然后再根据其它条
件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量 ” 是
指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地
上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1 份数量×份数＝总量
总量÷1 份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套
衣服用布2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少
套？
解 （ 1 ）这批布总共有多少米？ 3.2× 791 ＝2531.2（米）
（ 2 ）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝ 904 （套）
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝ 904 （套）
答：现在可以做 904 套。

例 2 小华每天读 24 页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天
读 36 页书，几天可以读完《红岩》？
解 （ 1 ）《红岩》这本书总共多少页？ 24 × 12 ＝288（页）
（ 2 ）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷ 36 ＝ 8 （天）
列成综合算式 24 × 12 ÷ 36 ＝ 8 （天）
答：小明 8天可以读完《红岩》。

例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克，30 天慢慢消费
完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千
克，这批蔬菜可以吃多少天？
解 （ 1 ）这批蔬菜共有多少千克？ 50 × 30 ＝1500（千克）
（ 2 ）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500 ÷（ 50 ＋ 10 ）＝ 25
（天）
列成综合算式 50 × 30 ÷（ 50 ＋ 10 ）＝1500÷ 60 ＝ 25
（天）
答：这批蔬菜可以吃 25 天。

◆ 和差问题

【含义】 】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这
类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变
通后再用公式。

例 1 甲乙两班共有学生 98人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有
多少人？
解 甲班人数＝（ 98 ＋ 6 ）÷ 2 ＝ 52 （人）
乙班人数＝（ 98 － 6 ）÷ 2 ＝ 46 （人）
答：甲班有 52人，乙班有 46 人。

例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方
形的面积。
解 长＝（ 18 ＋ 2 ）÷ 2 ＝ 10 （厘米） 宽
＝（ 18 － 2 ）÷ 2 ＝ 8 （厘米）
长方形的面积＝ 10 × 8 ＝ 80 （平方厘米）
答：长方形的面积为 80 平方厘米。

例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重
30 千克 ，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千
克。
解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多
（ 32 － 30 ）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。
由此可知：
甲袋化肥重量＝（ 22 ＋ 2 ）÷ 2 ＝ 12 （千克）
丙袋化肥重量＝（ 22 － 2 ）÷ 2 ＝ 10 （千克）
乙袋化肥重量＝ 32 － 12 ＝ 20 （千克）
答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10
千克。

例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车
上，结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐？
解“从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐 ” ，
这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（ 14 × 2 ＋
3 ），甲与乙的和是 97 ，
因此 甲车筐数＝（ 97 ＋ 14 × 2 ＋ 3 ）÷ 2 ＝ 64 （筐）
乙车筐数＝ 97 － 64 ＝ 33 （筐）
答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。
◆ 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的
几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和
倍问题。
【数量关系】 总和÷（几倍＋ 1 ）＝较小的数
总和－较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后
利用公式。

例 1果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，
求杏树、桃树各多少棵？
解 （ 1 ）杏树有多少棵？ 248 ÷（ 3 ＋ 1 ）＝ 62 （棵）
（ 2 ）桃树有多少棵？ 62 × 3 ＝186（棵）
答：杏树有 62棵，桃树有 186 棵。

例 2东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4
倍，求两库各存粮多少吨？
解 （ 1 ）西库存粮数＝ 480 ÷（1.4＋ 1 ）＝200（吨）
（ 2 ）东库存粮数＝480－ 200 ＝ 280 （吨）
答：东库存粮 280吨，西库存粮 200 吨。

例 3 甲站原有车 52辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往
乙站28 辆 ，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是
甲站的 2 倍？
解 每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24辆，相当于每
天从甲站开往乙站（ 28 － 24 ）辆。把几天以后甲站的车辆
数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆
总数（ 52 ＋ 32 ）就相当于（ 2 ＋ 1 ）倍，那么，几天以
后甲站的车辆数减少为 （ 52 ＋ 32 ）÷（ 2 ＋ 1 ）＝ 28
（辆）所求天数为 （ 52 － 28 ）÷（ 28 － 24 ）＝ 6 （天）
答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。

例 4 甲乙丙三数之和是 170 ，乙比甲的2 倍少 4 ，丙比甲的3
倍多 6 ，求三数各是多少？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。
因为乙比甲的 2 倍少 4 ，所以给乙加上 4 ，乙数就变成甲数
的 2倍；又因为丙比甲的 3倍多 6 ，所以丙数减去 6 就变为
甲数的 3 倍；
这时（ 170 ＋ 4 － 6 ）就相当于（ 1 ＋ 2 ＋ 3 ）倍。
那么，甲数＝（170＋ 4 － 6 ）÷（ 1 ＋ 2 ＋ 3 ）＝ 28
乙数＝ 28 × 2 － 4 ＝ 52
丙数＝ 28 × 3 ＋ 6 ＝ 90
答：甲数是 28 ，乙数是 52 ，丙数是 90 。

◆ 差倍问题
【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的
几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差
倍问题。
【数量关系】 两个数的差÷（几倍－ 1 ）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后
利用公式。

例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124
棵。求杏树、桃树各多少棵？
解 （ 1 ）杏树有多少棵？ 124 ÷（ 3 － 1 ）＝ 62 （棵）
（ 2 ）桃树有多少棵？ 62 × 3 ＝186（棵）
答：果园里杏树是 62棵，桃树是 186 棵。

例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，
求父子二人今年各是多少岁？
解 （ 1 ）儿子年龄＝ 27 ÷（ 4 － 1 ）＝ 9 （岁）
（ 2 ）爸爸年龄＝ 9 × 4 ＝ 36 （岁）
答：父子二人今年的年龄分别是 36岁和 9岁。

例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多
12 万元 ，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个
月盈利各是多少万元？
解 如果把上月盈利作为1 倍量，则（ 30 － 12 ）万元就相当于
上月盈利的（ 2－ 1 ）倍，因此 上月盈利＝（ 30 － 12 ）
÷（ 2 － 1 ）＝ 18 （万元）
本月盈利＝ 18 ＋ 30 ＝ 48 （万元）
答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。

例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米
各是 9 吨 ，问几天后剩下的玉米是小麦的 3倍？
解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等
于原来的数量差（138－ 94 ）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍
量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（ 138 － 94 ）
就相当于（ 3 － 1 ）倍，因此
剩下的小麦数量＝（ 138 － 94 ）÷（ 3 － 1 ）＝ 22 （吨）
运出的小麦数量＝ 94 － 22 ＝ 72 （吨）
运粮的天数＝ 72 ÷ 9 ＝ 8 （天）
答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。

◆ 倍比问题
【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，
解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，
这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总
量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在有油菜籽 3700 千
克，可以榨油多少？
解 （ 1 ）3700千克是 100 千克的多少倍？ 3700÷100＝ 37 （倍）
（ 2 ）可以榨油多少千克？ 40 × 37 ＝1480（千克）
列成综合算式 40 ×（3700÷100）＝ 1480 （千克）
答：可以榨油 1480 千克。

例 2 今年植树节这天，某小学300 名师生共植树 400棵，照这样
计算，全县 48000名师生共植树多少棵？
解 （ 1 ）48000 名是 300名的多少倍？ 48000÷ 300 ＝160（倍）
（ 2 ）共植树多少棵？ 400 ×160＝64000（棵）
列成综合算式 400 ×（48000÷ 300 ）＝64000（棵）
答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。

例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入
11111元，照这样计算，全乡800 亩果园共收入多少元？全
县16000亩果园共收入多少元？
解 （ 1 ）800 亩是 4 亩的几倍？ 800÷ 4 ＝200（倍）
（ 2 ）800 亩收入多少元？ 11111 × 200 ＝2222200（元）
（ 3 ）16000 亩是 800 亩的几倍？16000÷800＝ 20 （倍）
（ 4 ）16000 亩收入多少元？ 2222200× 20 ＝44444000（元）
答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000亩果园共
收入44444000 元。

◆ 相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通
后再利用公式。

例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船
相对而行，从南京开出的船每小时行 28千米，从上海开出
的船每小时行 21 千米 ，经过几小时两船相遇？
解 392 ÷（ 28 ＋ 21 ）＝ 8 （小时）
答：经过 8小时两船相遇。

例 2 小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟
跑 5 米 ，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，
反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇 ” 可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为 400× 2
相遇时间＝（ 400 × 2 ）÷（ 5 ＋ 3 ）＝ 100 （秒）
答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。

例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每
小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3 千米处相遇 ” 是正确理解本题题意的关键。从题中可知
甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3千米，就是说甲比
乙多走的路程是（ 3 × 2 ）千米，因此，
相遇时间＝（ 3 × 2 ）÷（ 15 － 13 ）＝ 3 （小时）
两地距离＝（ 15 ＋ 13 ）× 3 ＝ 84 （千米）
答：两地距离是 84 千米。

◆ 追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而
不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同
向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进
速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后
利用公式。

例 1 好马每天走 120千米，劣马每天走75 千米，劣马先走12天，
好马几天能追上劣马？
解 （ 1 ）劣马先走 12 天能走多少千米？ 75 × 12 ＝900
（千米）
（ 2 ）好马几天追上劣马？ 900 ÷（ 120 － 75 ）＝ 20
（天）
列成综合算式 75 × 12 ÷（ 120 － 75 ）＝ 900 ÷ 45 ＝ 20
（天）
答：好马 20 天能追上劣马。

例 2 小明和小亮在 200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，
他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮
时跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮
跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小
明跑 500 米所用的时间 。
又知小明跑 200 米用 40秒，
则跑500 米用［ 40 ×（500÷ 200 ）］秒，
所以小亮的速度是 （ 500 － 200 ）÷［ 40 ×（ 500 ÷200）］
＝ 300 ÷100＝ 3 （米）
答：小亮的速度是每秒 3米。

例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始
从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22 点
接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知
甲乙两地相距60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（ 22 － 16 ）小时，
这段时间敌
人逃跑的路程是［ 10 ×（ 22 － 6 ）］千米，
甲乙两地相距 60 千米。
由此推知
追及时间＝［ 10 ×（ 22 － 6 ）＋ 60 ］÷（ 30 － 10 ）
＝ 220 ÷ 20 ＝ 11 （小时）
答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。

例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48千米；一辆货车同
时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点
16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客
车落后于货车（ 16 × 2 ）千米，客车追上货车的时间就是前
面所说的相遇时间，
这个时间为 16 × 2 ÷（ 48 － 40 ）＝ 4 （小时）
所以两站间的距离为 （ 48 ＋ 40 ）× 4 ＝ 352 （千米）
列成综合算式 （ 48 ＋ 40 ）×［ 16 × 2 ÷（ 48 － 40 ）］
＝ 88 × 4 ＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是 352 千米。

例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟
走60 米 。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回
家去取，行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有
多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，
在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180× 2 ）
米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（ 90 － 60 ）米，那么，
二人从家出走到相遇所用时间为
180 × 2 ÷（ 90 － 60 ）＝ 12 （分钟）
家离学校的距离为 90 × 12 －180＝ 900 （米）
答：家离学校有 900 米远。

例 6 孙亮打算上课前5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度
从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分
钟，因此立即跑步前进 ，到学校恰好准时上课。后来算了一
下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到
学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，
就要迟到（ 10 － 5 ）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说
明后段路程跑比走少用了（ 10 － 5 ）分钟。如果从家一开始
就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知 ，
行 1千米，跑步比步行少用［ 9 －（ 10 － 5 ）］分钟。
所以步行 1 千米所用时间为 1 ÷［ 9 －（ 10 － 5 ）］＝0.25
（小时）＝ 15 （分钟）
跑步 1 千米所用时间为 15 －［ 9 －（ 10 － 5 ）］＝ 11
（分钟）
跑步速度为每小时 1 ÷ 11 ／ 60 ＝ 1 × 60 ／ 11 ＝5.5
（千米）
答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。

◆ 植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，
已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植
树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋ 1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－ 4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－ 3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公
式。

例 1 一条河堤136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共
要栽多少棵垂柳？
解 136 ÷ 2 ＋ 1 ＝ 68 ＋ 1 ＝ 69 （棵）
答：一共要栽 69 棵垂柳。

例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨
树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400 ÷ 4 ＝100（棵）
答：一共能栽 100棵白杨树。

例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个
照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
解 220 × 4 ÷ 8 － 4 ＝ 110 － 4 ＝ 106 （个）
答：一共可以安装 106 个照明灯。

例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的
长和宽分别是 60厘米和 40厘米，问至少需要多少块地板
砖？
解 96 ÷（0.6×0.4）＝ 96 ÷0.24＝ 400 （块）
答：至少需要 400块地板砖。

例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔
50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安
装多少盏路灯？
解 （ 1 ）桥的一边有多少个电杆？ 500÷ 50 ＋ 1 ＝ 11 （个）
（ 2 ）桥的两边有多少个电杆？ 11 × 2 ＝ 22 （个）
（ 3 ）大桥两边可安装多少盏路灯？ 22 × 2 ＝ 44 （盏）
答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。

◆ 年龄问题
【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两
人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着
年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，
尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住
“年龄差不变 ” 这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题 ” 的解题思路和方法。

例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的
几倍？明年呢？
解 35 ÷ 5 ＝ 7 （倍） （35+1）÷（5+1）＝ 6 （倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6
倍。

例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿
的4 倍？
解 （ 1 ）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37 － 7 ＝ 30 （岁）
（ 2 ）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 30 ÷（ 4 － 1 ）
－ 7 ＝ 3 （年）
列成综合算式 （ 37 － 7 ）÷（ 4 － 1 ）－ 7 ＝ 3 （年）
答：3 年后母亲的年龄是女儿的4 倍。

例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的
4 倍，父子今年各多少岁？
解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（ 3 × 2 ）岁，今年二
人的年龄和为 49 ＋ 3 × 2 ＝ 55 （岁），把今年儿子年龄作
为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（ 4 ＋ 1 ）倍，因此 ，
今年儿子年龄为 55 ÷（ 4 ＋ 1 ）＝ 11 （岁）
今年父亲年龄为 11 × 4 ＝ 44 （岁）
答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11岁。

例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4
岁 ” 。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61
岁 ” 。求甲乙现在的岁数各是多少？
解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年 今 年 将来某一年
甲 □岁 △岁 61 岁
乙 4 岁 □岁 △岁
表中两个 “□” 表示同一个数，两个“△ ” 表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－ 4 ＝△－□＝ 61 －△，
也就是 4 ，□，△ ，61成等差数列，所以，61 应该比 4 大
3 个年龄差，
因此二人年龄差为 （ 61 － 4 ）÷ 3 ＝ 19 （岁）
甲今年的岁数为 △＝ 61 － 19 ＝ 42 （岁）
乙今年的岁数为 □＝ 42 － 19 ＝ 23 （岁）
答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。

◆ 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄
清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只
在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行
的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与
水速之差。
【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷ 2 ＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷ 2 ＝水速
顺水速＝船速× 2 －逆水速＝逆水速＋水速× 2
逆水速＝船速× 2 －顺水速＝顺水速－水速× 2
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例 1 一只船顺水行 320千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15
千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷ 8 ，而水速为每小时
15千米，所以，船速为每小时
320 ÷ 8 － 15 ＝ 25 （千米）
船的逆水速为 25 － 15 ＝ 10 （千米）
船逆水行这段路程的时间为 320÷ 10 ＝ 32 （小时）
答：这只船逆水行这段路程需用 32小时。

例 2 甲船逆水行 360千米需 18 小时，返回原地需 10小时；乙
船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？
解：由题意得 甲船速＋水速＝ 360 ÷ 10 ＝ 36
甲船速－水速＝360÷ 18 ＝ 20
可见 （ 36 － 20 ）相当于水速的 2 倍，
所以， 水速为每小时（ 36 － 20 ）÷ 2 ＝ 8 （千米）
又因为， 乙船速－水速＝360÷ 15 ，
所以， 乙船速为 360÷ 15 ＋ 8 ＝ 32 （千米）
乙船顺水速为 32 ＋ 8 ＝ 40 （千米）
所以， 乙船顺水航行 360 千米需要 360 ÷ 40 ＝ 9 （小时）
答：乙船返回原地需要 9小时。

例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576千
米，风速为每小时 24千米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风
飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（ 1 ）两城相距多少千米？ （ 576 － 24 ）× 3 ＝1656（千米）
（ 2 ）顺风飞回需要多少小时？1656÷（576＋ 24 ）＝2.76（小
时）
列成综合算式［（ 576 － 24 ）× 3 ］÷（ 576 ＋ 24 ）＝2.76
（小时）
答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。

◆ 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车
身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及：
追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇：
相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过
大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车
长多少米？
解： 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（ 1 ）火车 3 分钟行多少米？ 900 × 3 ＝2700（米）
（ 2 ）这列火车长多少米？ 2700 － 2400 ＝ 300 （米）
列成综合算式 900 × 3 －2400＝300（米）
答：这列火车长 300 米。

例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8米的速度通过一座大桥，用
了2 分 5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？
解 火车过桥所用的时间是 2 分5 秒＝125秒，
所走的路程是（ 8 × 125 ）米 ，
这段路程就是（200 米＋桥长），
所以，桥长为8 ×125－200＝ 800 （米）
答：大桥的长度是 800 米。

例 3 一列长 225米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长140
米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到
追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（ 225 ＋140）米，而快车
比慢车每秒多行（ 22 － 17 ）米，因此，
所求的时间为（225＋ 140 ）÷（ 22 － 17 ）＝ 73 （秒）
答：需要 73 秒。

例 4 一列长 150米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道
工人以每秒 3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶
过需要多少时间？
解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问
题。 150 ÷（ 22 ＋ 3 ）＝ 6 （秒）
答：火车从工人身旁驶过需要 6秒钟。

例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的
速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。求这列火车的车
速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是
因为隧道比大桥长。可知火车在（ 88 － 58 ）秒的时间内行驶
了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（2000－1250）÷（ 88 － 58 ）＝ 25 （米）
进而可知，车长和桥长的和为（ 25 × 58 ）米，
因此，车长为25 × 58 －1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。

◆ 时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、
两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题
可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为
11/12 。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题
来计算。
【解题思路和方法】 变通为“追及问题 ” 后可以直接利用公式。

例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重
合？
解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；
时针每小时走 5 格，每分钟走 5/60 ＝1/12 格。每分钟分针比时
针多走（ 1 － 1/12 ）＝11/12 格。4点整，时针在前，分针在后，
两针相距 20 格。
所以分针追上时针的时间为 20 ÷（ 1 －1/12）＝ 2 （分钟）
答：再经过 2 分钟时针正好与分针重合。

例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解：钟面上有60格，它的1/4 是15格，因而两针成直角的时候相
差 15 格（包括分针在时针的前或后 15 格两种情况）。
四点整的时候，分针在时针后（ 5 ×4）格，如果分针在时针
后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （ 5 × 4 － 15 ）
格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走
（ 5 × 4 ＋ 15 ）格。
再根据1 分钟分针比时针多走（ 1 － 1/12 ）格就可以求出
二针成直角的时间。
（ 5 × 4 － 15 ）÷（ 1 －1/12）＝ 5 （分钟）
（ 5 × 4 ＋ 15 ）÷（ 1 －1/12）＝ 38 （分钟）
答：4 点 05 分及 4 点38 分时两针成直角。

例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 ：六点整的时候，分针在时针后（ 5 × 6 ）格，分针要与时
针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
（ 5 × 6 ）÷（ 1 －1/12）＝ 36 （分钟）
答：6 点 36 分的时候分针与时针重合。

◆ 盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一
次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，
或一次有余（盈） ，一次刚好分完，求人数或物品数，这类
应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，
则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
如果两次分配中,一次盈 ( 亏),一次尽,则有 :
参加分配总人数＝盈或亏数÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11个；若每人
分4 个就少 1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
解 ：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差 ” 的数量
关系：
（ 1 ）有小朋友多少人？ （ 11 ＋ 1 ）÷（ 4 － 3 ）＝ 12 （人）
（ 2 ）有多少个苹果？ 3 × 12 ＋ 11 ＝ 47 （个）
答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。

例 2 修一条公路，如果每天修260 米，修完全长就得延长 8 天；
如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少
米？
解：题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数 ” ，
按照“参加
分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 ” 的数量关系，可以
得知原定完成任务的天数为
（ 260 × 8 －300× 4 ）÷（ 300 －260）＝ 22 （天）
这条路全长为 300 ×（ 22 ＋ 4 ）＝7800（米）
答：这条路全长 7800米。

例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30人；如果
每辆车坐45 人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
解 ：本题中的车辆数就相当于 “ 参加分配的总人数 ” ，于是
就有
（ 1 ）有多少车？ （ 30 － 0 ）÷（ 45 － 40 ）＝ 6 （辆）
（ 2 ）有多少人？ 40 × 6 ＋ 30 ＝ 270 （人）
答：有 6 辆车，有 270 人。

例 4. 老师将一些练习本发给若干同学，如果每人分 3 本，就多
出 10本 ，如果每人分 5 本，则刚好发完，问有多少个学生？
多少个练习本？盈（亏）数÷两次分配差=份数
10 ÷（ 5 － 3 ）=5（人）
3 × 5 ＋10=25（本）或 5 ×5=25（本）
答：有 5 个学生，有 25 个练习本.

◆ 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之
间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体
数量，只提出 “ 一项工程 ” 、“一块土地 ” 、 “ 一条
水渠 ” 、“一件工作 ” 等，在解题时，常常用单位 “1”
表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“ 1” ，这
样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工
作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工
作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例 1 一项工程，甲队单独做需要 10天完成，乙队单独做需要 15
天完成 ，现在两队合作，需要几天完成？
解 ：题中的“一项工程 ” 是工作总量，由于没有给出这项工程
的具体数量，因此，把此项工程看作单位“ 1” 。由于甲队独
做需 10 天完成，