尺规作图(初中数学中考题汇总21).doc

中考数学复习资料（第19题）
尺规作图

一、选择题（每小题x分，共y分）
1．（2011•长春）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠＝54°，则∠1的大小为（ C ）
（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°．

2．（2011•益阳市）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 （ B ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
A
C
D
图2

B

图3

3. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接.若的周长为10，，则的周长为（ ）
A.7 B.14 C.17 D.20

（第8题图）

【答案】C

二、填空题（每小题x分，共y分）
(第11题)
B
A
M
O
4．〔2011•南京市〕如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．

5．（2011•天津）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
(Ⅰ) 该正方形的边长为_________。(结果保留根号)
(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程：_________。

如图．①作出BN= (BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)：
②画出两条裁剪线AK，BE
(AK=BE=．BE⊥AK)：
③平移△ABE和△ADK．
此时，得到的四边形BEF'G即为所求．

三、解答题：（共x分）
6、（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题。
专题：综合题。
分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；
（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．
解答：解：（1）存在满足条件的点C；
作出图形，如图所示．
（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，
把（2，2）和（7，3）代入得：，
解得：，
∴y=x﹣4，
当y=0时，x=4，
所以交点P为（4，0）．
点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．
7、（2011•綦江县）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

考点：作图—应用与设计作图。
分析：根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案．
解答：解：已知A村、B村、C村，
求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等；

点评：此题主要考查了垂直平分线的性质，做出垂直平分线的性质得出是解决问题的关键．
8．（2011•湖北省宜昌市）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．

(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1  (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE， （5分）
∴.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴， ∴x＝ ． （6分）
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则 ，
∴y= . （7分）
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则， ∴z=. （8分）
由①，②，③可知：∵  ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x= =2-4, y= = 5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）
∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为. （10分）
A C

B
9．（2011•重庆市）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求意象喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

10（2011•重庆市潼南县）（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.
（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不
写作法）.
已知：

求作：

11. 已知：线段a、b 、角 -------------1分
求作：△ABC使边BC=a，AC= b，∠C= ------------2分
画图（保留作图痕迹图略） --------------6分
12．（2011•佛山）如图，一张纸上有线段；
（1）请用尺规作图，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）；

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13．（2011•宿迁市）（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
　（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．
（第12题）
解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝
∵BC＝CD，AE＝AD
∴AE＝AC－AD＝．
（2）∠EAG＝36°，理由如下：
∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝
∴＝
∴△FAE是黄金三角形
∴∠F＝36°，∠AEF＝72°
∵AE＝AG，FA＝FE
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE
∴△AEG∽△FEA
∴∠EAG＝∠F＝36°．

14．（2011江苏扬州，10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=, 求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和）

【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。

判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。
∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90º ∴∠ODB=90º 即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径 ∴ BC是⊙O的切线。
(2) 如图，连结DE。
设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
在Rt△ODB中，∠ODB=90º，
∴ 0B2=OD2+BD2 即：(6-r)2= r2+()2
∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵△ODB的面积为，扇形ODE的面积为
∴阴影部分的面积为—。

15．(2011•山西省) (本题9分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点F，连接AE，
评分说明：第①小题2分，第②小题2分，第③小题1分．如图．
若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分．
(2)综合与运用 在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则：
①AD与⊙O的位置关系是______．(2分)（相切）
②线段AE的长为__________．(2分)（或）
16．（2011山东滨州，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
（第15题图①）

①作图：②猜想：③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
（第15题图②）

①作图：②猜想：③验证：
【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分

②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分

③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分

（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分

②猜想：∠B=3∠A………………8分

③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分
17.（2011山东威海，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）

图① 图②
【答案】 解：（1）能，点就是所求作的旋转中心．

图① 图②
（1）能，点就是所求作的旋转中心．
18. （2011浙江杭州，6分）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．

【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略
(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是．
19.（2011四川重庆，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)

【答案】

20．（2011甘肃兰州，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。
A
B
C
O

【答案】（1）
A
B
C
O
x
y
D
E

（2）
① C（6，2），D（2，0） ② ③ ④相切。
理由：∵CD=，CE=，DE=5
∴CD2+CE2=25=DE2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD
∴CE与⊙D相切。
21．（ 2011重庆江津， 10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
.A(2, 2)
.B(7, 3)
y
O
x
第23题图

【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；
（2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2), 连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P.
设A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分别代入得：
解得：·
所以： y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）·

22．（2011·珠海）（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．（保留作图痕迹，不写作法）
C
B
A
（2）若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝_ ，CD＝_ ．

【答案】（1）作出BC的垂直平分线 ……………………3分
答：线段DE即为所求 ……………………4分
（2）3，5 ……………………6分
23. (2011重庆綦江，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：

求作：

【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.
求作：一点P，使PA＝PB＝PC.
(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P

24． (2011江苏南京，9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
B
B
B
C
C
C
A
A
A
D
P
E
①
②
③
(第27题)

【答案】解：⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．
25．（2011江苏无锡，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ
所围成图形的面积S。
B
A(M)
D
C
N
P
Q

【答案】解：(1)如右图所示．……………………(3分)
(2)S = 2[π·12 + π·()2 + 1 + π·12]
= + 2．………………………(6分)
B
A(M)
D
C
N
P
Q

26. （2011湖北宜昌，10分）如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC = 1，BC =2.
(1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC的边AB 相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？ 若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由.

（第23题图1） （第23题图2）
【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，∵ OX ＝BOsin∠ABM，P1Z＝BP1sin∠ABM．当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，（5分）∴ =.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝  .设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，
∴ =，∴x＝．（6分）
② 如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，
设PC＝y，则  =，∴y= （7分）
③ 如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则=，∴z=（8分）由①，②，③可知：∵  ＞2，∴  ＋2＞＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:∵x＝＝2 －4, y= = ，
∴y-x=>0,∴y>x.
∵z-y=－ =>0，∴2> > ，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z＞y＞x.
∴⊙P的面积S的最大值为π.（10分）
E
A
C
B
P
Z
X
M
A
C
B
P1
O

A
C
B
(第23题答图1) (第23题答图1)
A
C
B
P

(第23题答图3) (第23题答图4)
27、（2011•毕节地区）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形．
（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求证：ED⊥DC．

考点：梯形；菱形的判定与性质；作图—基本作图。
专题：作图题；证明题。
分析：（1）根据尺规作图：角的平分线的基本做法，可得到∠BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；
（2）根据直角三角形的性质定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC；
解答：证明：（1）梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，AB=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
∴△DEC是直角三角形，
∴ED⊥DC．

点评：本题考查了尺规作图及菱形、直角三角形的性质及判定，综合性较强，锻炼了学生的动手、动脑的能力．