方法技巧专题五 转化思想训练.doc

方法技巧专题五　转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．
一、选择题
1．[2015·山西] 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　　)
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
2．[2016·扬州] 已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为(　　)
A．M＜N B．M＝N
C．M＞N D．不能确定
3．[2016·十堰] 如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(　　)
A．140 m B．150 m　
C．160 m D．240 m

图F5－1

4．[2016·徐州] 图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(　　)

图F5－2
A．1或9 B．3或5
C．4或6 D．3或6
二、填空题
5．[2017·烟台] 运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．

图F5－3
6．[2016·达州] 如图F5－4，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为________．

图F5－4

7．[2016·宿迁] 如图F5－5，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．

图F5－5
三、解答题
8．如图F5－6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果，不必说明理由．

图F5－6

参考答案
1．A
2．A　[解析] ∵N－M＝a2－a－(a－1)＝a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，∴M＜N.故选A.
注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．
3．B　[解析] ∵多边形的外角和为360°，这里每一个外角都为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15.
∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.
注：把问题转化为正多边形的周长．

4．D　[解析] 如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6.故选D.
注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．
5．x＜8　[解析] 由题意，得3x－6<18，解得x＜8.
6．24＋9 　[解析] 如图，连结PQ，则△APQ为等边三角形．

∴PQ＝AP＝6.易知△APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.
∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9 .故答案为24＋9 .
注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．
7．4或2 　[解析] 设AD的中点为P1，无论AB多长，△P1BC都是等腰三角形，即点P1始终是符合条件的一个点．
(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，
此时AB＝BC＝4；
(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P1时，符合条件的点也有3个．此时BP1＝BC＝4，AB＝2 .
综上所述，BA的长为4或2 .

注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．
8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.

∵O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OD，∠AOG＝∠DOE＝90°，
∵四边形OEFG为正方形，∴OG＝OE，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO＝∠DEO.
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，
∴∠DEO＋∠GAO＝90°.
∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：

(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝＝，
∴∠AG′O＝30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′.
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.
(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°，
所以α＝180°－30°＝150°.
综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°.
②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.
理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC上，如图所示．

∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∴AC＝BD＝，AO＝OD＝.
∴OE′＝E′F′＝2OD＝.
∴OF′＝＝2.
∴AF′＝AO＋OF′＝＋2.
∵∠DOG′＝45°，
∴旋转角α＝360°－45°＝315°.