【全国百强校】陕西师范大学附属中学北师大版高中数学必修5教案：14数列在日常经济生活中的应用.docx

§4 数列在日常经济生活中的应用
陕西师大附中
一、 教学目标
1．知识与技能
（1）了解银行存款的种类及存款计息方式；
（2）体会数列在“零存整取”、“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济活动中的应用.
2．过程与方法
通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列，等比数列这两种数学模型，会利用它们解决一些存款计息问题，感受等差数列和等比数列的广泛应用.
3． 情感态度与价值观
通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.
二、 教材分析
本节是在学习等差数列和等比数列这两种基本数列的相关知识后，以银行存款，分期付款为例，让学生体会和认识这两种数列是日常经济生活中的重要数学模型.教材以问题及其解决为主线，既充分考虑能调动学生进行自主学习，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程.又充分注意教材应适用于研究学习的特点，使其较方便于教师组织学生课外学习.
三、 重点，难点
本节的重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”及“分期付款模型”，并用于解决实际问题；
本节的难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”，“定期自动转存模型”及“分期付款模型”.
四、 教学方法与手段
本节在教学中，应以教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念.让学生体验探究问题的全过程，一切以学生自己的积极探究为主.取材应来源于熟悉的生活，注意难度控制，让学生理解数列在实际生活中的应用，理解一些数学方法和数学思想.
五、 教学过程
【问题引入】
职员王某现在每月可以拿出500元存入银行，他想把这笔钱作为儿子三年后读大学的费用，那么他以什么方式存款收益最大？引出课题《数列在日常经济生活中的应用》.
【新课教学】
1.新知探究 提出问题
①银行存款中的单利计息是怎样计算利息的？
②银行存款中的复利计息是怎样计算利息的？
我们一起走进银行去看看：
最新农业银行存款利率表（更新日期：2015-2-9）
项目
年利率（%）
一、城乡居民及单位存款
（一）活期
0.40
（二）定期

1.整存整取
三个月
2.60
半年
2.80
一年
3.00
二年
3.90
三年
4.50
五年
5.00
2.零存整取、整存零取、存本取息
一年
2.60
三年
2.80
五年
3.00
3.定活两便
按一年以内定期整存整取同档次利率打6折
二、协定存款
1.21
三、通知存款
一天
0.85
七天
1.39

银行存款计息方式：
单利 ：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
其公式为： 利息=本金×利率×存期.以符号代表本金,代表存期,代表利率,代表本金和利息和(以下简称本和),则有.
复利： 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是.
2.应用示例
模型1:零存整取模型
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.
探索:
(1)某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为100元,月利率0.3%保持不变,到期能取出多少钱? (暂不考虑利息税)
第一月存入的100元到期有多少利息?
到期为: 100× 0.3%× 12=3.6
第二月存入的100元到期有多少利息?
到期为: 100× 0.3%× 11=3.3
第三月存入的100元到期有多少利息?
到期为: 100× 0.3%× 10=3.0
最后一月存入的100元到期有多少利息?
到期为: 100× 0.3%× 1=0.3
到期的本息和为： 100 × 12+(3.6+3.3+3.0+ … +0.3)=1223.4元
(2) 某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为元,月利率保持不变,试推导出到期整取是本利和的公式.
第1个月存入的元，到期利息为；
第2个月存入的元，到期利息为元……
第n个月存入的元，到期利息为元．
不难看出，这是一个等差数列求和的问题．
各月利息之和为：（元）
而本金为元，这样就得到本利和公式：(元)，
即(元) （）…①
(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?
依题意，在①式中，.
（元）.
点评：这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型．这里的“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获得的利息组成一个等差数列．通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境→提出问题→数学模型→数学结果→检验→问题结果．体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息.
变式训练
某同学依教育储蓄的方式从2004年11月1日开始，每月按时存入250元，连续存6年，月利率为0.3%.求到期一次可支取本利和共多少元？
解：根据题意，教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄，由例1可知到期一次可支取本利和为（元）
答：到期一次可支取本利和共为19971元.
模型2:定期自动转存模型
客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并转存 .例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.
探索：
（1）如果储户存入定期为1年的1万元存款，定期年利率为3%，连存5年后，试求出储户5年后所得本利和(暂不考虑利息税)

1年后储户的本利和为多少?

2年后储户的本利和为多少?

3年后储户的本利和为多少?

4年后储户的本利和为多少?

5年后储户的本利和为多少?

（2） 如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式？
解：(1)记年后得到的本利和为，根据题意，
第1年存入的本金P元，1年后到期利息为,
1年后本利和为：；
2年后到期利息为P(1＋r)r元，
2年后本利和为：；
……
各年的本利和是一个以＝P(1＋r)为首项，公比＝1＋r的等比数列，故年后到期的本利和
（元）(复利公式)．
点评：该问题的关键是理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第一年的本利和．这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关键．事实上，在将实际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列．
变式训练
教师可借此引导学生探究银行存款的最佳方式及储蓄业务的种类．尝试设计“寻找最好存款方式”的算法程序，并上机实现．可利用多媒体探究以下问题：银行整存整取定期储蓄年利率如下表所示．
(2007年3月18日)
存　期
1年
2年
3年
5年
年利率/%
2.79
3.33
3.96
4.41
某公司欲将10万元存入银行5年，可按以下方案办理(不考虑利息税)：
(1)直接存入5年定期；
(2)先存2年定期，取出本利和后再存3年定期．
问题1：计算出不同存法到期后的本利和，哪种存款方式更合算？
问题2：你能设计出更好的存款方案吗？
模型3:分期付款模型
情景导入：
幽默广告视频：丈夫正看球赛，妻子一过来就换电视剧，丈夫很郁闷，一客服对他说：“您可以分期付款买东西，提前享受。”结果，丈夫和妻子一人一台电视，但当丈夫看球赛正酣时，儿子又过来把台换了。面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
实例分析：
例：他准备花钱买一台5000元左右的平板电视，采用分期付款方式在一年内将款全部付清。据了解，苏宁电器允许采用分期付款方式进行购物，在一年内将款全部付清，该店提供了如下几种付款方案，以供选择。

分析方案2：（选择次数中间的方案进行举例分析，进一步巩固数列知识）
本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则：
设每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为元,则

由题意年底还清,所以

解得：

思考交流
由学生完成上表中“方案1”和“方案3”，熟练探究方法；

327
5327
1775元

285
880.8
5285

263
5263
438.6

可见：方案3使得付款总额较少，同时教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。（一改往日数学答案的唯一性，培养学生解决问题时应具备的全面性）
3. 课堂小结
（1）由学生归纳整合银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型．熟悉教育储蓄的计息方法．
（2）教师点拨，等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型．要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来．在归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题的理解．

六、 课后作业与反思
课后作业：
1．课本本节习题1—4　1,2.
2．利用网络资源，探究分期付款问题．
3.选做题
一位居民决定重新购买住房，他列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：家庭经济状况：家庭每月总收入3 000元，也就是年收入3.6万元．现存款6万元，但是必须留2万元～3万元以备急用．
预选方案：
方案1：购买商品房：一套面积为80 m2的住宅，每平方米售价1500元．
方案2：买二手房：一套面积为110 m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元．
购房还需要贷款，这位居民选择了一家银行申请购房贷款，该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：
申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%.购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%.还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金和部分利息部分，其计算公式分别为
本金部分＝贷款本金÷贷款期季数．
利息部分＝(贷款本金－已归还贷款本金累计额)×季利率．
请你帮这位居民算一笔经济账，根据以上的贷款方式，你认为预选方案1与2到底哪一个是他的最佳选择？说明你的理由．
反思：
1.本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．让学生体验探究问题的全过程，一切以学生自己的积极探究为主．同时，以活泼、新颖、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．
2.本教案设计遵循生活是源，数学是流，即生产、生活、实践是数学知识的直接源泉的原则，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的，目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．
3.本教案严格控制了难度，目的是让学生进一步理解数列在实际生活中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．注重了对深层次教学目的的考虑，提高了能力和素质要求.