资源描述
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注意事项：
白云广附教育集团期末线上调研初一数学试题
满分：120 分 用时：90 分钟
1. 答题前填写好自己的姓名、 班级、 考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1. 下列语句正确的是( )
A. “+15 米”表示向东走 15 米 B. 0℃表示没有温度
C. ﹣a 可以表示正数 D. 0 既是正数也是负数
【答案】C
【解析】
【分析】根据正负数的意义进行选择即可.
【详解】A、“+15 米”不一定表示向东走 15 米，原说法错误，故这个选项不符合题意；
B、0℃不是没有温度，而是表示零上温度和零下温度的分界点，原说法错误，故这个选项不符合题意； C、﹣a 可以表示正数，也可以表示负数，原说法正确，故这个选项符合题意；
D、0 既不是正数也不是负数，原说法错误，故这个选项不符合题意； 故选 C.
【点睛】本题考查的是正数及负数的定义，正确的理解正负数的定义是关键.
2. 下列各组数中，数值相等的是( )
12 æ 1 ö2
æ 1 ö2 12
A. -22 和(-2)2 B.
- 和ç - ¸
C. (-2)2 和 22 D.
-ç - ¸ 和-
2 è 2 ø è 2 ø 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的乘方的运算方法，求出每组中的两个算式的值各是多少，判断出各组数中，数值相等的是哪个即可．
【详解】解：Q-22 = -4 ， (-2)2 = 4 ， -22 ¹ (-2)2 ，\选项A 不符合题意；
12 1
Q- = - ，
2 2
(- 1 )2 = 1
2 4
- 12 ¹ - 1 2
( )
，
2 2
，\选项 B 不符合题意；
Q(-2)2 = 4 ， 22 = 4 ， (-2)2 = 22 ，\选项C 符合题意；
Q-(- 1 )2 = - 1
2
- 1
2
- - 1 2 ¹ - 1
= - 1
\
，
2 4
故选： C ．
， ( )
2 2 2
， 选项 D 不符合题意．
2
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【点睛】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．
3. 将方程
x
0.3
=1+ 1.2 - 0.3x 中分母化为整数，正确的是（ ）
0.2
10x
A.
3
=10 + 12 - 3x
2
B. x = 10 + 1.2 - 0.3x
3 0.2
C. 10x = 1+ 12 - 3x D. x =1+ 1.2 - 0.3x
3 2 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，
即可作出判断．
【详解】解：方程整理得： 10x = 1+ 12 - 3x .
3 2
故选：C．
4. 骰子是一种特殊的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是 7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A 中 1 点与 3 点是相对面，4 点与 5 点是相对面，1 点与 2 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故不符合要求；
B 中 3 点与 4 点是相对面，1 点与 5 点是相对面，2 点与 6 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故不符合要求；
C 中 4 点与 3 点是相对面，5 点与 2 点是相对面，1 点与 6 点是相对面，所以可以折成符合规则的骰子， 故符合要求；
D 中 1 点与 5 点是相对面，3 点与 4 点是相对面，2 点与 6 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰
子，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5. 如图，点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点， AC = 2 ， OA = OB ．若点 C 所表示的数
为 a，则点 B 所表示的数为（
）
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A. -a + 2
B. -a - 2
C. a + 2
D. a - 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和数轴，可以用含 a 的代数式表示出点 B，本题得以解决．
【详解】解：由图可得， 点 A 表示的数为 a - 2 ，
∵ OA = OB ，
∴点 B 表示的数为-(a - 2) = -a + 2 ， 故选：A．
【点睛】本题考查列代数式、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. 已知无论 x ， y 取什么值，多项式(2x2 - my +12) - (nx2 + 3y - 6)的值都等于定值18 ，则 m + n 等于
( )
A. 5 B. -5
【答案】D
【解析】
C. 1 D. -1
【分析】先将（2x2-my+12）-（nx2+3y-6）化简，然后令含 x、y 的项系数为零，即可求得 m、n 的值，从而可以得到 m+n 的值．
【详解】（2x2-my+12）-（nx2+3y-6）
=2x2-my+12-nx2-3y+6
=（2-n）x2+（-m-3）y+18，
∵无论 x，y 取什么值，多项式（2x2-my+12）-（nx2+3y-6）的值都等于定值 18，
ì2 - n＝0 ìm＝- 3
∴ í-m - 3＝0 ，得ín＝2 ，
î î
∴m+n=-3+2=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查整式的加减，解题的关键是明确整式加减的计算方法．
7. 已知线段 AB=8cm，点 C 是直线 AB 上一点，BC=2cm，若 M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，则线段 MN 的长
度为（
）
A. 5cm
B. 5cm 或 3cm
C. 7cm 或 3cm
D. 7cm
【答案】B
【解析】
【详解】（1）如图 1，当点 C 在点 A 和点 B 之间时，
∵点 M 是 AB的中点，点 N 是 BC 的中点，AB=8cm，BC=2cm，
∴MB= 1 AB=4cm，BN= 1 BC=1cm，
2 2
∴MN=MB-BN=3cm；
（2）如图 2，当点 C 在点 B 的右侧时，
∵点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC 的中点，AB=8cm，BC=2cm，
∴MB= 1 AB=4cm，BN= 1 BC=1cm，
2 2
∴MN=MB+BN=5cm.
综上所述，线段 MN 的长度为 5cm 或 3cm.
故选 B.
点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点 C 在直线 AB 上，因此根据题目中所告诉的 AB 和 BC 的大小关系要分点 C 在线段 AB 上和点 C 在线段 AB 的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种.
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8. 下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1 和 0；②若﹣1＜m＜0，则m < m2 <
1
；③若 a
m
＋b＜0，且 b > 0 ，则|a＋2b|＝﹣a﹣2b；④若 m 是有理数，则|m|＋m 是非负数；⑤若 c＜0＜a＜b，则
a
（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则分别计算并判断即可．
【详解】解：∵0 没有倒数，∴①错误．
∵﹣1＜m＜0，
1
∴ ＜0，m2＞0，∴②错误．
m
∵a+b＜0，且 b > 0 ，
a
∴a＜0，b＜0．
∴a+2b＜0，
∴|a+2b|＝﹣a﹣2b．∴③正确．
∵|m|≥﹣m，
∴|m|+m≥0，∴④正确，
∵c＜0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0．
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0 正确．∴⑤正确．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的知识，正确掌握倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则是解题的关键．
9. 如图所示的运算程序中，若开始输入 x 的值为 2，则第 2022 次输出的结果是（ ）
A. -6 B. -3 C. -8 D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出第 1-8 次输出的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：第 1 次输出的结果为 1 ´ 2 = 1 ；
2
第 2 次输出的结果为1- 5 = -4 ；
第 3 次输出的结果为 1 ´ (-4) = -2 ；
2
第 4 次输出的结果为 1 ´ (-2) = -1；
2
第 5 次输出的结果为-1 - 5 = -6 ；
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第 6 次输出的结果为 1 ´ (-6) = -3 ；
2
第 7 次输出的结果为-3 - 5 = -8 ；
第 8 次输出的结果为 1 ´ (-8) = -4 ，
2
…，
由此可知，从第 2 次开始，输出的结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8 循环往复的，
因为(2022 -1) ¸ 6 = 336LL5 ，
所以第 2022 次输出的结果与第 6 次输出的结果相同，即为−3， 故选：B．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10. 如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C 各区分别住有职工 30 人，15 人，10 人，且这三点在一条大道上（A，B，C 三点共线），已知 AB＝100 米，BC＝200 米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在
（ ）
A. 点 A B. 点 B C. A，B 之间 D. B，C 之间
【答案】A
【解析】
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：①以点 A 为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点 B 为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点 C 为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在 AB 之间停靠时，设停靠点到 A 的距离是 m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15
（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在 BC 之间停靠时，设停靠点到 B 的距离为 n，则（0＜n＜200），则总路程为 30（100+n）+15n+10
（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点 A； 故选 A．
【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
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二．填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11.
一个角的度数为 28°30′，那么这个角的补角度数为 ．
【答案】151°30′．
【解析】
【分析】根据补角的定义进行计算即可.
【详解】解：∵一个角的度数是 28°30′，
∴它的补角＝180°﹣28°30′＝151°30′． 故答案为：151°30′．
【点睛】本题主要考查了补角的定义，和度分秒的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12. 据统计，某市志愿者人数已达 109 万人，将 109 万人用科学记数法表示应为 ．
【答案】1.09 ´106
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a ´ 10 n ，其中1 £| a | ＜10 ， n 为整数．
【详解】解：109 万= 1090000 = 1.09 ´ 106 ． 故答案为：1.09 ´106 ．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 a ´ 10 n 的形式，其中1 £| a | ＜10 ， n 为整
数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值³ 10 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．
13. A 、 B 两城市的位置如图所示，那么 B 城市在A 城市的 位置．
【答案】东偏南 60°
【解析】
【分析】根据方位角的定义即可得出结论．
【详解】解：由图可知： B 城在A 城的东偏南 60°． 故答案为：东偏南 60°．
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【点睛】此题考查的是方位角，掌握方位角的定义是解决此题的关键．
当 x = 1 时， ax2 + bx -1 的值为 6，当 x=-1 时，这个多项式ax3 + bx - 1 的值是
14.
．
【答案】-8
【解析】
【分析】根据题意列等式，化简整理等式和代数式，整体代入求值即可．
【详解】解：∵当 x = 1 时， ax2 + bx -1 的值为 6，
∴ a + b -1 = 6 ，
∴ a + b = 7 ，
∴当 x=-1 时，
ax3 + bx - 1
= -a - b -1
= -(a + b) -1
= -7 -1
= -8 ．
故答案为：-8 ．
【点睛】本题考查了代数式求值，添括号的应用，解题的关键是掌握整体代入求值．
15. 已知： a = 2，b = 5 ，若 a - b = a - b ，则 ab = ．
【答案】10 或-10
【解析】
【分析】根据绝对值的定义求出 a 和 b，再根据 a - b = a - b 确定 a 和 b 的大小关系，从而确定 a 和 b 的值，最后代入求解即可．
【详解】解：∵ a = 2，b = 5 ，
∴ a = ±2, b = ±5 ，
∵ a - b = a - b ，
∴ a - b > 0 ，则a > b ，
∴ a = ±2, b = -5 ，
当 a = 2, b = -5 时： ab = 2 ´(-5) = -10 ；
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当 a = -2, b = -5 时： ab = (-2)´(-5) = 10 ；
故答案为：10 或-10
．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是
它的相反数，0 的绝对值是 0．
16.
已知某铁路桥长 1600 米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 90 秒，整
列火车完全在桥上的时间是 70 秒．则这列火车长 米．
【答案】200
【解析】
【分析】设这列火车的长为 x 米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为 x 米，
根据题意得， 1600 + x = 1600 - x ，
90 70
解得 x = 200 ，
∴这列火车的长为 200 米． 故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算： (-48) ´(- 1 - 5 + 7 ) ．
2 8 12
【答案】26
【解析】
【分析】根据有理数的乘法运算律求解即可．
【详解】(-48) ´(- 1 - 5 + 7 )
2 8 12
= (-48) ´ æ - 1 ö + (-48) ´ æ - 5 ö + (-48) ´ 7
ç 2 ¸ ç 8 ¸ 12
è ø è ø
= 24 + 30 - 28
= 26 ．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算律．
18. 计算： -32 ¸ (-2)2´ | - 1 ´6 + (-2)3 ．
1 |
3
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【答案】-26
【解析】
【分析】先计算平方、去绝对值和立方，再进行乘法和除法运算，最后进行减法运算即可．
1
【详解】 -32 ¸ (-2)2´ | - ´6 + (-2)3
1 |
3
= -9 ¸ 4 ´ 4 ´ 6 - 8
3
= -9 ´ 1 ´ 4 ´ 6 - 8
4 3
= -18 - 8
= -26 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，绝对值．掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
19. 解方程： 3x -1.5 - 2x -1 = 2 - 4x ．
0.2 0.9 0.5
【答案】 x = 1
2
【解析】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解．
【详解】解： 3x -1.5 - 2x -1 = 2 - 4x
0.2 0.9 0.5
30x -15 20x -10
整理得： - = 4 - 8x 2 9
去分母得， 9 (30x -15) - 2 (20x -10) = 18(4 - 8x)
去括号得， 270x -135 - 40x + 20 = 72 -144x 移项得， 270x - 40x +144x = 72 +135 - 20 合并同类项得， 374x = 187
系数化为 1 得， x = 1 ．
2
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1．
20. 如图，在平面内有 A，B，C 三点．
（1） 画直线 AC ，射线 AB ；
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（2）在线段 BC 上任取一点 D（不同于点 B，C），连接 AD ；
（3）数数看，此时图中线段共有 条．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）6
【解析】
【分析】（1）按照题意要求作图即可；
（2） 连接线段 AD 即可；
（3） 根据线段的定义解答即可．
【小问 1 详解】
直线 AC ，射线 AB 如图所示；
【小问 2 详解】
如图，线段 AD 如图所示；
【小问 3 详解】
图中的线段是： AC, AB, AD, CD, CB, DB ，有 6 条． 故答案为：6．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的作图和线段的条数，属于基础题目，熟练掌握线段、直线、射线
的基本知识是关键．
21. 点 O 是线段 AB 的中点， OB = 14cm ，点 P 将线段 AB 分为两部分， AP：PB=5：2 ．
（1） 求线段OP 的长．
（2） 点 M 在线段 AB 上，若点 M 距离点 P 的长度为4cm ，求线段 AM 的长．
【答案】（1） 6cm
（2）16cm 或24cm
【解析】
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得 AB 的长，根据比例分配，可得 BP 的长，根据线段的和差，可得答案；
（2）分两种情况：M 在 P 点左边和右边，分别根据线段和差进行计算便可．
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【小问 1 详解】
∵点 O 是线段 AB 的中点， OB = 14cm ，
∴ AB=2OB=28cm ，
∵ AP：PB=5：2 ．
∴ BP = 2 AB = 8cm ，
7
∴ OP=OB- BP=14- 8=6cm ；
【小问 2 详解】
如图 1，当 M 点在 P 点的左边时，
AM = AB - ( PM + BP) = 28 - (4 + 8) = 16cm ， 如图 2，当 M 点在 P 点的右边时，
AM = AB - BM = AB - ( BP - PM ) = 28 - (8 - 4) = 24cm ． 综上， AM = 16cm 或24cm ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
22. （1）若a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， x 的平方为 4，求代数式 a + b - cd + x -1 的值．
（2）已知2x2 y2m+5 和与-xn y 是同类项，求代数式2(mn - 3m2 ) - (mn + 6m2 ) + 2mn 的值．
【答案】（1）0 或 2；（2） -60
【解析】
【分析】（1）首先根据倒数和相反数的性质得到 a + b = 0 ， cd = 1，然后根据平方的意义得到 x = ±2 ， 最后代入求解即可；
（2）首先根据同类项的定义得到 m 和 n 的值，然后根据整式的加减混合运算法则化简，最后代入求解即可．
【详解】（1）∵ a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， x 的平方为 4，
∴ a + b = 0 ， cd = 1， x = ±2
∴当 x = 2 时， a + b - cd + x -1 = 0 -1+ 2 -1 = -1+1 = 0 ； 当 x = -2 时， a + b - cd + x -1 = 0 -1+ -2 -1 = -1+ 3 = 2 ；
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∴ a + b - cd + x -1 的值为 0 或 2；
（2）∵ 2x2 y2m+5 和与-xn y 是同类项，
∴ n = 2 ， 2m + 5 = 1 ，
∴ m = -2
∴ 2(mn - 3m2 ) - (mn + 6m2 ) + 2mn
= 2mn - 6m2 - mn - 6m2 + 2mn
= 3mn -12m2
= 3´(-2)´ 2 -12 ´(-2)2
= -12 - 48
= -60 ．
【点睛】此题考查了整式加减混合运算以及代数求值，相反数和倒数的性质，同类项的概念等知识，正确掌握整式的加减运算法则及同类项的定义是解题的关键．
23. 已知数轴上 A，B，C 三点对应的数分别为﹣1、3、5，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x．点A 与点 P 之间的距离表示为 AP ，点 B 与点 P 之间的距离表示为 BP ．
（1） 若 AP = BP ，则 x = ；
（2） 若 AP + BP = 8 ，求 x 的值；
（3） 若点 P 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度向右运动，点 A 以每秒 1 个单位的速度向左运动，点 B 以每秒 2 个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为 t 秒，试判断： 4BP - AP 的值是否会随着 t 的变化而变化？请说明理由．
【答案】（1）1 （2） -3 或 5
（3） 4BP - AP 的值不会随着 t 的变化而变化，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合数轴，进行求解即可；
（2） 分点 P 在点 A 左侧，点 P 在点 A、B 中间，点 P 在点 B 右侧，三种情况，列出方程进行求解即可．
（3） 分别表示出 BP, AP ，列式计算即可得到结论．
【小问 1 详解】
解：由点在数轴上的位置，可知，当 AP = BP 时，P 在点 A、B 中间，
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∴ AP = x + 1 ， BP = 3 - x ，
∴ x +1 = 3 - x ，解得： x = 1 ；
故答案为：1；
【小问 2 详解】
解：∵ AP + BP = 8
若点 P 在点 A 左侧， AP = -1- x ， BP = 3 - x ， 则-1- x + 3 - x = 8 ，解得： x = -3 ；
若点 P 在点 A、B 中间： AP = x + 1 ， BP = 3 - x ， 则 x +1+ 3 - x = 4 ¹ 8 ，不符合题意；
若点 P 在点 B 右侧， AP = x + 1 ， BP = x - 3 ， 则 x +1+ x - 3 = 8 ，解得： x = 5 ；
综上 x 的值为-3 或 5．
【小问 3 详解】
解： 4BP - AP 的值不会随着 t 的变化而变化，理由如下：
由题意，得： A 点表示的数为： -1- t ， B 点表示的数为： 3 + 2t ， P 点表示的数为： 5 + 3t ，
∴ BP = 5 + 3t - (3 + 2t ) = t + 2 ， AP = 5 + 3t - (-1- t ) = t + 6 + 3t = 4t + 6 ，
∴ 4BP - AP = 4 (t + 2) - (4t + 6) = 2 ，
∴ 4BP - AP 的值不会随着t 的变化而变化．
【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
24. 芜湖市一商场经销的 A、B 两种商品，A 种商品每件售价 60 元，利润率为 50%；B 种商品每件进价 50
元，售价 80 元．
（1）A 种商品每件进价为 元，每件 B 种商品利润率为 ．
（2） 若该商场同时购进 A、B 两种商品共 50 件，恰好总进价为 2100 元，求购进 A 种商品多少件？
（3） 在“春节”期间，该商场只对 A、B 两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于 450 元
不优惠
超过 450 元，但不超过 600
元
按总售价打九折
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其中 600 元部分八折优惠，超过 600 元的部分打七折
超过 600 元
优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买 A、B 商品实际付款 522 元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？
【答案】（1）40； 60%
（2） 购进 A 种商品 40 件，B 种商品 10 件
（3） 小华在该商场购买同样商品要付 580 元或 660 元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，列出符合题意的方程是解题的关键．
(1) 设 A 种商品每件进价为 x 元，根据利润率，得60 - x = 50%x ，列出方程计算即可，B 种的利润率计算也是这样．
(2) 设购进 A 种商品 x 件，则购进 B 种商品(50 - x) 件，由题意得， 40x + 50 (50 - x) = 2100 ，解方程即可．
(3) 设小华打折前应付款为 y 元，根据小华一次性购买 A、B 商品实际付款 522 元，说明小华一定享受了优惠，分两种情况求解即可．
【小问 1 详解】
设 A 种商品每件进价为 x 元，根据题意，得
60 - x = 50%x ， 解得 x = 40 ；
故 A 种商品每件进价为 40 元；
每件 B 种商品利润率为 80 - 50 ´100% = 60% ．
50
故答案为：40； 60% ．
【小问 2 详解】
设购进 A 种商品 x 件，则购进 B 种商品(50 - x) 件， 由题意得， 40x + 50 (50 - x) = 2100 ，
解得： x = 40 ．
即购进 A 种商品 40 件，B 种商品 10 件．
【小问 3 详解】
设小华打折前应付款为 y 元，根据小华一次性购买 A、B 商品实际付款 522 元，说明小华一定享受了优
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惠，
①打折前购物金额超过 450 元，但不超过 600 元，
由题意得0.9 y = 522 ，
解得： y = 580 ；
②打折前购物金额超过 600 元， 600 ´ 0.8 +（y - 600）´ 0.7=522 ，解得： y = 660 ．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付 580 元或 660 元．
25. 如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是ÐAOB 的奇妙线．
（1） 一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2） 如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转，当
ÐQPN 首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t (s) ．
①当 t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是
ÐMPN 的奇妙线时 t 的值．
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5
【答案】（1）是 （2）①9 或 12 或 18；②
2
【解析】
30 20
或 或
7 3
【分析】（1）根据角平分线的定义和“奇妙线”的定义进行计算即可；
（2）①分三种情况进行讨论，当ÐMPN = 2ÐMPQ 时，当ÐQPN = 2ÐMPN 时，当ÐQPM = 2ÐPMN 时， 分别列出方程进行求解即可；
②分三种情况进行讨论，当ÐMPQ = 2ÐQPN 时，当ÐMPN = 2ÐQPN 时，当ÐQPN = 2ÐMPQ 时，
分别列出方程进行求解即可．
【小问 1 详解】
解：一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
【小问 2 详解】解：①依题意有：
A. 当ÐMPN = 2ÐMPQ 时，
10t = 60 + 1 ´ 60 ，
2
解得： t = 9 ；
B. 当ÐQPN = 2ÐMPN 时，
10t = 2 ´ 60 ， 解得t = 12 ；
C. 当ÐQPM = 2ÐPMN 时，
10t = 60 + 2 ´ 60 ， 解得： t = 18 ；
故当 t 为 9 或 12 或 18 时，射线 PM 是ÐQPN 的“奇妙线”；
②依题意有
A. 当ÐMPQ = 2ÐQPN 时，
10t = 1 (6t + 60) ，
3
解得： t = 5 ；
2
B. 当ÐMPN = 2ÐQPN 时，
10t = 1 (6t + 60) ，
2
解得t = 30 ；
7
C. 当ÐQPN = 2ÐMPQ 时，
10t = 2 (6t + 60) ，
3
解得： t = 20 ．
3
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故当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时 t 的值为 5 或 30 或 20 ．
2 7 3
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，新定义运算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
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