第1章131.doc

§1.3　空间几何体的表面积与体积
1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

【课时目标】　1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．

1．旋转体的表面积
名称
图形
公式
圆柱

底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥

底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝________
圆台

上底面面积：
S上底＝____________
下底面面积：
S下底＝____________
侧面积：S侧＝__________
表面积：
S＝________________
2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．

一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为(　　)
A．8 B． C． D．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为(　　)
A． B． C． D．
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于(　　)
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为(　　)
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为(　　)

A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是(　　)

A．7＋ B．＋ C．7＋ D．

二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3．
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．

三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)

11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．

1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh．
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．

§1．3　空间几何体的表面积与体积
1．3．1　柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr2　2πrl　πr2　πrl　πr(r＋l)　πr′2　πr2　π(r′＋r)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．(1)Sh　(2)Sh
作业设计
1．B　[易知2πr＝4，则2r＝，
所以轴截面面积＝×2＝．]
2．A　[设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：．]
3．A　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝πl，则l＝r，所以
A＝πr2＋πr2＝πr2，B＝πr2，得A∶B＝11∶8．]
4．B　[以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πa2b．]
5．A　[该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm2,12π cm3．]
6．A　[图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝7＋．]
7．3
解析　由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，
即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
8．或
解析　(1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
所以V＝π·2·8＝(cm3)．
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝，
所以V＝π·2·12＝ (cm3)．
9． cm3
解析　由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
V＝Sh＝ cm3．
10．解　

如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2．
h＝＝＝10，
V＝πh(r＋r1r2＋r)
＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π (cm3)．
即圆台的表面积为1 100π cm2，体积为π cm3．
11．

解　如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．
连接OE、O1E1，则OE＝AB
＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3．
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝3．
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×3＝108．
12．C　[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋．]
13．解　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．