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中大附中 2022 学年第一学期期末质量监测数学科试卷
一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分．请将正确选项前的字母代号填在问卷星相应位置．
2
1. -2 的相反数是（ ）
第 16 页/共 16 页
A. 2 B. -2
【答案】A
【解析】
C. - 1 2
D. 1
【分析】根据互为相反数的两数之和为 0，进行判断即可．
【详解】解： -2 的相反数是 2； 故选 A．
【点睛】本题考查相反数．熟练掌握互为相反数的两数之和为 0，是解题的关键．
2. 据报道，截至 2021 年底，我国高技能人才超过65000000 人，将数据65000000 用科学记数法表示为
（ ）
A. 6.5 ´106
B. 65 ´106
C. 0.65 ´108
D. 6.5´107
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式是 a ´ 10 n ，其中1 £ a < 10 ， n 的值是小数点向左移动的数位或所有整数位减一，由此即可求解．
【详解】解： 65000000 = 6.5´107 ，
故选： D ．
【点睛】本题主要考查运用乘方表示较大数，即科学记数法，掌握科学记数法的表示形式，及a ， n 的取值是解题的关键．
3. 如单项式-x3 ya 与6xb y4 是同类项，则 a + b 等于（ ）
A. -7
B. 7 C. -5
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义求出 a，b 的值，代入求值即可．
【详解】解：∵单项式-x3 ya 与6xb y4 是同类项，
∴ b = 3 ， a = 4 ；
∴ a + b = 3 + 4 = 7 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了同类项，掌握同类项就是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是解题的关键．
4. 已知方程 -3(a - 9) = 5x -1的解是 x = 5 ，则a 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】将 x = 5 代入方程 -3(a - 9) = 5x -1，解关于 a 的方程，把(a - 9) 看作一个整体，即可解出
a - 9 = -8 ，由此即可求解a 的值．
【详解】解：根据题意得， -3(a - 9) = 5x -1，把 x = 5 代入得， -3(a - 9) = 5´ 5 -1，
-3(a - 9) = 24 ，方程两边同时除以-3 ，
a - 9 = -8 ，移项得， a = -8 + 9 ，
∴ a = 1 ， 故选： A ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，将已知方程的解代入原方程，转换为求另一个未知数的解，解题的关键是将已知条件代入，并能灵活运用解方程的方法求解．
5. 下列各式：① -(-3) ；② - -3 ；③ -33 ；④ -(-3)3 ，计算结果为负数的个数为（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用有理数的乘方运算，绝对值的定义，相反数的定义判断即可．
【详解】解：① -(-3) = 3 ，结果为正数，
② - -3 = -3 ，结果为负数，
③ -33 = -27 ，结果为负数，
④ -(-3)3 = 27 ，结果为正数，
∴结果为负数的有②③，共计2 个． 故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值，相反数．解题的关键是掌握有理数的乘方运算，绝对值的定义， 相反数的定义．
6. 下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得： 只有 A 是三棱柱的展开图．
故选 A．
7. 如图，点O 在直线 AB 上， OC ^ OD ，若ÐBOC = 60° ，则ÐAOD 的大小为（ ）
A. 160° B. 140° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直的定义可得ÐCOD = 90° ，进而求出ÐBOD ，再根据平角的定义求出答案．
【详解】解：QOC ^ OD ．
\ÐCOD = 90° ，
QÐBOC = 60° ，
\ÐBOD = 90° - 60° = 30° ，
又QÐAOD + ÐBOD = 180° ，
\ÐAOD = 180° - 30° = 150° ， 故选：D．
【点睛】本题考查垂线，角的计算，理解垂直的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．
8. 如图，D 是线段 AB 上的一点，点 C 是 AB 的中点， AB = 6 ， DB = 1，则CD = （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由中点的含义先求解 AC = BC = 1 AB = 3, 再利用线段的和差关系可得答案.
2
【详解】解：Q 点 C 是 AB 的中点， AB = 6 ，
\ AC = BC = 1 AB = 3,
2
Q BD =1,
\ CD = CB - BD = 3 - 1 = 2.
故选 B
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系与中点的含义”是解本题的关键.
9. 某口罩厂有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个口罩面或 1000 个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排 x 名工人生产口罩面，根据题意可列方程为（ ）
A. 800x = 2 ´1000 (26 - x)
C. 2 ´ 800 (26 - x) = 1000x
B. 2 ´ 800x = 1000 (26 - x)
D. 800 (26 - x) = 2 ´1000x
【答案】B
【解析】
【分析】根据 x 名工人生产的口罩面的数量是（26-x）名工人生产的耳绳数量的一半列方程即可；
【详解】解：x 名工人生产口罩面，则由（26-x）名工人生产耳绳，
∵一个口罩面配两个耳绳，
∴ 2 ´ 800x = 1000 (26 - x) ， 故选： B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；找准题目中的等量关系是解题关键．
10. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要 4 根小棒，搭两个小正方形需要 7 根小棒，搭 2022
个这样的小正方形需要小棒（ ）根．
A. 6064 B. 6066 C. 6067 D. 6070
【答案】C
【解析】
【分析】根据给出的图形，抽象概括出数字规律，利用规律进行计算即可．
【详解】解：搭 1 个小正方形需要 4 根小棒， 搭 2 个小正方形需要4 + 3 ´1 = 7 根小棒，
搭 3 个小正方形需要4 + 3´ 2 = 10 根小棒，
L
搭n 个小正方形需要4 + 3 ´ (n - 1) = 3n + 1根小棒，
∴搭 2022 个这样的小正方形需要小棒3´ 2022 +1 = 6067 根； 故选 C．
【点睛】本题考查图形中的数字规律．解题的关键是正确的抽象概括出数字规律．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11. 计算： -3 - (-2022)0 = ．
【答案】2
【解析】
【分析】去绝对值，计算零指数幂，再进行减法运算即可．
【详解】解： -3 - (-2022)0 = 3 -1 = 2 ；故答案为：2．
【点睛】本题考查绝对值和零指数幂．熟练掌握绝对值的意义，以及零指数幂的法则，是解题的关键．
12. 若 a, b 互为相反数，c 的倒数是 4，则3a + 3b - 4c 的值为 ．
【答案】-1
【解析】
【分析】两数互为相反数，和为 0；两数互为倒数，积为 1，由此可解出此题．
【详解】解：∵ a, b 互为相反数，c 的倒数是 4，
∴ a + b = 0 ， c = 1 ，
4
∴ 3a + 3b - 4c
= 3(a + b) - 4c
= 3´ 0 - 4 ´ 1
4
= -1 ．
故答案为： -1 ．
【点睛】本题考查的是代数式求值，相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为 0；两数互为倒数，它们的积为 1．
13. 如果代数式2mx + 4x - 9 的值与 x 的取值无关，那么m3 的值是 ．
【答案】-8
【解析】
【分析】代数式2mx + 4x - 9 的值与 x 无关，则合并同类项后 x 前面的系数为 0，由此可算出 m 的值．
【详解】解： 2mx + 4x - 9 =（2m + 4)x - 9
Q 代数式2mx + 4x - 9 的值与 x 的取值无关
\ 2m + 4 = 0
解得m = -2
\m3 = (-2)3 = -8
故答案为：-8 ．
【点睛】本题考查了求代数式字母系数的问题，根据题意列出正确的等式解出字母系数是解决本题的关键．
14. 如图，现在的时间是 9 点 30 分，时钟面上的时针与分针的夹角是 .
【答案】105°
【解析】
【分析】根据时钟面上有12 个大格，每一个大格度数为 360° = 30° ，结合现在的时间是 9 点 30 分，时钟
12
面上的时针与分针的夹角有3.5 个大格，从而得到度数为3.5´ 30° = 105° ．
【详解】解：由题意可知，时钟面上每一个大格度数为 360° = 30° ，
12
Q 现在的时间是 9 点 30 分，时钟面上的时针与分针的夹角有3.5 个大格，
\时钟面上的时针与分针的夹角是3.5´ 30° = 105° ，
故答案为：105° ．
【点睛】本题考查钟面夹角问题，掌握时钟面上每一个大格度数为 360° = 30° 是解决问题的关键．
12
15. 在直线上截取线段 AB 和 BC，使 AB＝8cm，BC＝3cm 则线段 AC 的长为 cm
【答案】11或5 ##5 或 11
【解析】
【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论求出 AC 的长．
【详解】根据题意画出图形，
C 在线段 AB 延长线上
线段 AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（cm） C 在线段 AB 上
线段 AC＝AB－BC＝8－3＝5（cm） 故答案为11或5 ．
【点睛】本题考查了线段长度的计算，会画图并进行分类讨论是本题的解题关键.
a
a
2ab
ab
3abc
abc
16. 若 a + b + c < 0, abc > 0 ，则 + + 的值为 ．
【答案】0 或 2 或 4
【解析】
【分析】根据 a + b + c < 0, abc > 0 ，推导出 a、b、c 三个数中必定是一正两负，进而分三类讨论即可.
【详解】∵ a + b + c < 0, abc > 0 ，
∴a、b、c 三个数中必定是一正两负，
∴当 a < 0, b < 0, c > 0 时， ab > 0 ，此时 a
+ 2ab + 3abc
= -1+ 2 + 3 = 4
| a | | ab | | abc |
当 a < 0,b > 0, c < 0 时， ab < 0 ，此时 a
+ 2ab + 3abc
= -1- 2 + 3 = 0
| a | | ab | | abc |
当 a > 0, b < 0, c < 0 时， ab < 0 ，此时 a
+ 2ab + 3abc
= 1- 2 + 3 = 2
| a | | ab | | abc |
故答案为：0 或 2 或 4
【点睛】本题考查与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想求解是本题的关键.
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分．
17. 如图，已知三点 A，B，C，按下列要求画图：
（1） 画射线 AB ；
（2） 连接线段 BC ；
（3） 反向延长 BC 至 D，使得 BD = BC ．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析
【解析】
【分析】（1）连接 AB 并延长即可；
（2） 连接 BC 即可，
（3） 反向延长 BC 至 D，使得 BD = BC ，即可．
【小问 1 详解】
解：如图所示：射线 AB 即为所求；
【小问 2 详解】
解：如图所示：线段 BC 即为所求；
【小问 3 详解】
解：如图所示， BD 即为所求；
【点睛】本题考查射线和线段的作图．熟练掌握射线和线段的定义，是解题的关键．
18 解下列方程：
（1） 4x +1 = -5x +10 ；
（2） x -1 = x + 7 ．
2 6
【答案】（1） x = 1
（2） x = 5
【解析】
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化 1，解方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化 1，解方程即可．
【小问 1 详解】
解： 4x +1 = -5x +10
移项，合并得： 9x = 9 ， 系数化 1，得： x = 1 ；
【小问 2 详解】
解： x -1 = x + 7
2 6
方程两边同乘 6，的： 3( x -1) = x + 7 ， 去括号，得： 3x - 3 = x + 7 ，
移项，合并得： 2x = 10 ，
系数化 1，得： x = 5 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程得步骤，是解题的关键．
19. 先化简，再求值： 3ab - éë2a2 - (b2 - 3ab) - a2 ùû ，其中 a = 1 ， b = 2 ．
【答案】 -a2 + b2 ，3
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，化简后，再代值计算．
【详解】解：原式= 3ab - (a2 - b2 + 3ab)
= 3ab - a2 + b2 - 3ab
= -a2 + b2 ；
当 a = 1 ， b = 2 时，原式= -12 + 22 = 3 ．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确的化简，是解题的关键．
20. 解方程组：
1 í
ì y = 2x - 3
（ ） ；
î3x + 2 y = 8
ìx - 2 y = 1
î
（2） íx + y = 4 ．
ìx = 2
î
【答案】（1） í y = 1
ìx = 3
î
（2） í y = 1
【解析】
【分析】(1)用代入消元法求解即可；
(2)用加减消元法求解即可；
【小问 1 详解】
ì y = 2x - 3①
解： í
î3x + 2 y = 8②
将①代入②中得：3x+2(2x-3)=8，
7x=14
得 x=2
将 x=2 代入①中得：y=2×2-3=1，
ìx = 2
î
∴方程组的解为í y = 1 ，
【小问 2 详解】
ìx - 2 y = 1①
î
解： íx + y = 4② ，
将①减②得：-2y-y=1-4，
-3y=-3
得 y=1
将 y=1 代入②中， 得 x+1=4
得 x=3，
ìx = 3
î
∴方程组的解为í y = 1
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟悉代入消元法和加减消元法是解题的关键．
．
21. 一项工程甲单独做需要 40 天完成，乙单独做需要 50 天完成，甲先单独做 4 天，然后两人合作完成这项工程，甲，乙合作了多少天？
【答案】两人合作的天数为 20 天．
【解析】
【分析】可设两人合作的天数为 x 天，根据等量关系：甲单独做（x+4）天的工作量+乙单独做 x 天的工作量=工作总量“1”，依此列出方程求解即可．
【详解】解：设两人合作的天数为 x，依题意有，
x + 4 + x
= 1 ，
40 50
解得：x=20．
即两人合作的天数为 20 天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由工作总量找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22. 2016 年 7 月，台风“莫利娅”登陆，给我国福建，浙江等省造成严重影响，为民排忧解难的解放军叔叔驾驶冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民，早晨从 A 地出发，来回营救灾民，晚上最后到达 B 地，约定向东为正方向，当天航行依次记录如下（单位：千米）：+16，﹣4，+8，﹣8，+14，﹣7，﹣11．
（1）B 地在 A 地的东面还是西面？与 A 地相距多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油 0．5 升，油箱容量为 30 升，求途中至少需要补充多少升油？
【答案】（1）B 地在 A 地的东面 8 千米
（2）4 升
【解析】
【分析】（1）将题中的各数进行相加，看最终的结果，正的就是在东面，结果负的就是在西面，即可得出结果．
（2）将各数的绝对值进行相加，然后乘以每千米的耗油量，即可得出答案．
【小问 1 详解】
∵16+(-4) + 8 + (-8) +14 + (-7) + (-11) = 8
∴B 地在 A 地的东面，与 A 地相距 8 千米．
【小问 2 详解】
∵总路程16 + 4 + 8 + 8 +14 + 7 +11 = 68 （千米），
∴ 68´ 0.5 - 30 = 4 （升），
∴途中至少需要补充 4 升油．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际含义，找出所求问题需要的条件．
23. 如图，已知ÐAOB 的补角等于它的余角的 10 倍．
（1） 求ÐAOB 的度数；
（2） 若OD 平分ÐBOC ， ÐAOC = 3ÐBOD ，求ÐAOD 的度数．
【答案】（1）ÐAOB 的度数为80°
（2） ÐAOD = 136°
【解析】
【分析】（1）根据补角和余角之间的等量关系，合理的设出未知数列出方程求解即可；
（2）根据角平分线的定义和角的关系，合理设元列出方程求解即可．
【小问 1 详解】
解：设ÐAOB = x ，
由题意得：180° - x = 10 (90° - x) ，
解得 x = 80° ．
∴ÐAOB 的度数为80° ．
【小问 2 详解】
解：设ÐBOD = y ，则ÐAOC = 3y ，
∵ OD 平分ÐBOC ，
∴ÐBOC = 2ÐBOD = 2 y ，
由题意， 3y + 2 y + 80° = 360° ， 解得 y = 56° ，
∴ ÐAOD = ÐAOB + ÐBOD = 80° + 56° = 136° ；
故ÐAOD 的度数为 136°．
【点睛】本题考查角度的计算、补角和余角的概念；如果两个角的和为 180°，则这两个角互补；如果两个角的和为 90°，则这两个角互余；熟练掌握设元求角是解题的关键．
24. 形 如 a b 的 式 子 叫 做 二 阶 行 列 式 , 它 的 运 算 法 则 用 公 式 表 示 为 a b = ad - bc . 例 如 :
c d c d
5 1 = 5´ 2 -1´ 3 = 7 .
3 2
-3 4
（1） 计算 -2 5 的值；
-2 x
（2） 化简 3 x ；
2 x2 - 3xy +1 4
（3）当 3 - x + (y + 1 )2 = 0 时,求 3
的值.
3
【答案】（1） -7
（2） -5x
（3）-8
xy - 1 x2 - 3
2
【解析】
【分析】（1）根据运算法则直接运算即可得到答案；
（2））根据运算法则直接代入化简即可得到答案；
（3） 根据非负性得到字母的值，再根据运算法则直接代入代入求解即可得到答案．
【小问 1 详解】解：由题意可得，
-3 4 = -3´ 5 - 4 ´(-2) = -15 + 8 = -7 ；
-2 5
【小问 2 详解】解：由题意可得，
-2 x = -2x - 3x = -5x ；
3 x
【小问 3 详解】
解：由题意可得，
∵ 3 - x ³ 0 ， ( y + 1)2 ³ 0 ， 3 - x + (y + 1 )2 = 0 ，
3 3
∴ 3 - x = 0 ， y + 1 = 0 ，
3
解得 x = 3 ， y = - 1 ，
3
2 x2 - 3xy +1 4
3
= -3´æ 2 x2 - 3xy +1ö - 4 ´æ xy - 1 x2 ö
1 ç 3
¸ ç 2 ¸
xy - x2 -3 2
è ø è ø
= -2x2 + 9xy - 3 - 4xy + 2x2
= 5xy - 3
∴原式= 5´ 3´æ - 1 ö - 3 = -8
ç 3 ¸
è ø
【点睛】本题考查式子非负性求解，新运算代入求解及整式的混合运算，解题的关键是读清楚新运算的法则．
25. 我们知道， a 表示数 a 到原点的距离．进一步地，数轴上 P、Q 两点所对应的数分别是 m、n，那么 P、
Q 两点之间的距离 PQ = m - n ．已知代数式 ax3 - 2x2 - 2x +10x2 + 6x3 + 5 是关于 x 的二次多项式，且二次项的系数为 b，数轴上 A，B 两点所对应的数分别是 a，b．
（1） a = ， b = ， AB 两点之间的距离为 （只填结果，不用写出解答过程）；
（2） 有一动点 P 从点 B 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动 2 个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动 3 个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到 2022 次时，求 P 点在数轴上所对应的有理数．
（3） 在（2）的条件下，点 P 会不会在某次运动后恰好到达某一位置，使点 P 到点 A 的距离是点 P 到点
B 的距离的 3 倍？若可能，求出此时点 P 的位置，并直接指出是第几次运动后，若不可能，请说明理由．
【答案】（1） -6,8,14
（2）1019
（3）会， P 点表示的数是 15，是第 14 次运动
【解析】
【分析】（1）将代数式合并同类项后，根据多项式是二次多项式，得到三次项的系数为 0，求出a 的值，利用二次项的系数为 b，求出b 的值，再求出 AB 两点之间的距离即可；
（ 2 ） 根据 P 点的平移规律， 利用点 B 表示的数加上 -1+ 2 - 3 + 4 +L- 2021+ 2022 的和， 根据
-1+ 2 - 3 + 4 +L- 2021+ 2022 ，可知， P 点每运动 2 次，向右移动 1 个单位长度，进行求解即可；
（3）设点 P 表示的数为 x ，分 P 在A 的左侧， P 在 AB 之间以及 P 在 B 的左侧，三种情况，讨论求解，即可．
【小问 1 详解】
解： ax3 - 2x2 - 2x +10x2 + 6x3 + 5
= (a + 6) x3 + 8x2 - 2x + 5 ；
∵多项式是二次多项式，二次项的系数为 b，
∴ a + 6 = 0, b = 8 ，
∴ a = -6 ，
∴ AB = 8 - (-6) = 14 ； 故答案为： -6,8,14 ；
【小问 2 详解】
解：由题意，得：P 点在数轴上所对应的有理数为：
8 + (-1+ 2 - 3 + 4 +L- 2021+ 2022)
= 8 + (1´1011)
= 1019 ；
【小问 3 详解】
解：点 P 会在某次运动时恰好到达某一位置，使点 P 到点A 的距离是点 P 到点 B 的距离的 3 倍，理由如下：
设 P 点表示的数为 x ，
当 P 点在A 点左侧时， x < -6 ，
∴ AP = -6 - x, BP = 8 - x ，
∴ -6 - x = 3(8 - x) ，
∴ x = 15 （舍掉）；
当 P 点在 B 点右侧时， x > 8 ，
∴ AP = 6 + x, BP = x - 8 ，
∴ x + 6 = 3( x - 8) ，
∴ x = 15 ，
(15 - 8)´ 2 = 14
此时 P 点运动 14 次；
当 P 点在 AB 之间时， 6 < x < 8 ，
∴ AP = 6 + x, BP = 8 - x ，
∴ x + 6 = 3(8 - x) ，
∴ x = 5.5 ，
∵ P 表示的数为整数，
∴ x = 5.5 （舍掉）；
综上所述： P 点表示的数是 15，是第 14 次运动．
【点睛】本题考查合并同类项，多项式的次数，数轴上两点间的距离以及动点问题，和一元一次方程的应用．熟练掌握合并同类项法则，以及多项式的次数和系数，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关 键．
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