考点16三角函数的图象与性质-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过.docx

考点16 三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高中知识的重点，也是高考考查的重点、热点，常结合三角函数公式的化简进行考查，必须要求我们熟练掌握该知识点：
（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数

图象

定义域

值域

最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.

（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：

由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.

考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

典例1 将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，则在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A．x=-π24 B．x=π4
C．x=5π24 D．x=π12
【答案】A
【解析】将函数fx=2sin2x+π3的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=2sin4x+π3的图象，
再将所得图象向左平移π12个单位得到函数gx的图象，
即gx=2sin4x+π12+π3=2sin4x+2π3，
由4x+2π3=π2+kπ,k∈Z，得x=14kπ-π24,k∈Z，
则当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=-π24，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

1．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.

典例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2,x∈R的部分图象如图.

（1）求函数f(x)的解析式.
（2）求函数f(x)在区间0,5π12上的最值，并求出相应的x值.
【解析】（1）由图象可知A=2，又A>0，故A=2.
周期，
又T=2πω=π，∴ω=2.
∴fx=2sin2x+φ,fπ3=2sin2π3+φ=2,
∵φ<π2,∴φ=-π6.
则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x-π6).
（2）∵，
∴sin(2x-π6)∈[-12,1],2sin(2x-π6)∈[-1,2].
当2x-π6=π2时，x=π3，f(x)max=f(π3)=2；
当2x-π6=-π6时，x=0，f(x)min=f(0)=-1.
所以f(x)max=f(π3)=2，f(x)min=f(0)=-1.

2．函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式．
（2）将的图象向右平移个单位后得到新函数的图象，求函数的解析式．
考向三 三角函数的性质
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.
4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．
（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验
f（x0）的值进行判断．
（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.

典例3 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.
【解析】（1） ，
则.
（2）因为，所以.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减，
所以.
又因为，所以，
故，因此.

3．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．曲线关于对称
C．的最大值为2 D．曲线关于对称

典例4 已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.
【解析】（1）.
令，解得.
故函数图象的对称轴方程为.
（2）易知.
∵，∴，
∴，
∴，
即当时，函数的值域为.

4．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位得到函数，若在区间上单调递增，求的取值范围.
考向四 函数的性质与其他知识的综合应用
与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题
常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．

典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）当时,求函数的值域.
【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.
∴.
令，得，
∴函数的单调递减区间为.
（2）∵，∴，∴,
故的值域为.
典例6 已知函数fx=23sin2π4+x+2sinπ4+xcosπ4+x.
（1）求函数fx的单调递增区间；
（2）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足fA=3+1，若a=3，BC边上的中线长为3，求ΔABC的面积S.
【解析】（1）fx=23sin2π4+x+2sinπ4+xcosπ4+x
=31-cosπ2+2x+sinπ2+2x
=3sin2x+cos2x+3=2sin2x+π6+3.
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ，k∈Z.
（2）fA=2sin2A+π6+3=3+1，sin2A+π6=12，
因为A∈0,π，所以2A∈0,2π，2A+π6∈π6,13π6，
所以2A+π6=5π6，则A=π3，
又BC上的中线长为3，所以AC+AB=6，
所以AC2+AB2+2AC⋅AB=36，即b2+c2+2bccosA=36，
所以b2+c2+bc=36，①
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2-bc=9，②
由①②得：bc=272，
所以SΔABC=12bcsinA=2738.
典例7 已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π；
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2
=sin2+cos2+sin2-cos2+1+cos2
=sin2+cos2+1，
又因为T==π，
所以．
（2）由2kπ- 2+ 2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ +kπ，k∈Z，
可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z，
（3）作出函数在上的图象如图：
函数g（x）有两个零点，即方程有两解，
亦即曲线与在x∈上有两个交点，
从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，
所以当曲线与在x∈上有两个交点时，
则2，即实数的取值范围是．

【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．

5．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若在区间上有两个不同的解，，求的范围及的值．

1．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）
A．5 B．
C．3 D．
3．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
4．已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．10
5．已知函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝2sin2（ωx﹣）＞（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在上的最小值是（ ）
A．1+ B．
C．2 D．1﹣
7．已知函数（其中、、均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递增 D．在上单调递增
9．已知函数的图象如图所示，且在时取得最小值，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
10．已知函数，有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
11．函数的周期为，则ω＝________.
12．已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则_________.
13．若动直线与函数与的图象分别交于，两点，则的最大值为________.
14．设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）
①的图象过点；
②在上单调递减；
③的一个对称中心是；
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
15．函数，
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．

16．已知函数（，，）的图象如下图所示.

（1）求出函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.

17．已知函数.
（1）求图像的对称轴方程；
（2）是否存在实数，使得在上递减？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

18．已知函数，.
（1）求的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

19．已知向量，，设函数．
（1）若，，求的值；
（2）在△中，角，，的对边分别是且满足求的取值范围．

20．已知函数f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求函数f（x）的图象的对称轴；
（2）若函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点x1，x2，求m的取值范围及cos（x1+x2）的值．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A． B．
C． D．
2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

A． B．
C． D．
3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
7．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
8．【2018年高考全国卷II理数】若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
9．【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
10．【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
12．【2020年高考全国III卷理数】关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
13．【2020年高考北京】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
14．【2020年高考江苏】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．
15．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
17．【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________．
19．【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
20．【2019年高考浙江卷】设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．

21．【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

变式拓展

1．【答案】B
【解析】
【分析】
先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出所有取值，最小值即可确定．
【详解】
由题意知，的图象向左平移个单位得到函数的图象，
所以，当时，取最小值．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由变成时的值．
2．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由所给图象可知，，
所以，．
由，得，解得，所以．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为
．
3．【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得，根据三角函数的性质逐一判断.
【详解】
，则.
的最大值为，
当时，，故曲线关于对称，
当时，，故曲线不关于对称.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期；
（2）由三角函数图象变换得，由正弦函数性质求得增区间，确定的取值范围，再利用正弦函数性质可得的取值范围．
【详解】
（1）

，
所以函数的最小正周期.
（2）由（1）知.
将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到.
再将得到的图象向左平移个单位得到，
即.
又，，
，，
故在区间是单调递增的，
当时，在区间是单调递增函数，
则，
∴，
由于，而.
，故得取值范围为.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数图象变换及正弦函数的性质，解决三角函数问题首先应用三角函数的恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，大多数是形式，然后利用正弦函数性质求解．
5．【答案】（1）；（2）的范围为，.
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调增区间．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的范围和的值．
【详解】
解：（1）函数
．
由，解得，
所以函数的单调递增区间为：．
（2）由于，所以，所以在时，在区间上有两个不同的解，，
故的范围为．
又令，解得，
所以函数的图象在区间上关于对称，故，
所以．
【点睛】
本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
考点冲关

1．【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可将四个选项都转化为的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果．
【详解】
中，函数，是偶函数，周期为；
中，函数是奇函数，周期；
中，函数，是非奇非偶函数，周期；
中，函数是偶函数，周期.
综上所述，故选A．
【点睛】
本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足，对于函数，其最小正周期为，考查化归与转化思想，是中档题．
2．【答案】D
【解析】
【分析】
化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对
称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
【详解】
函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，
故答案为D.
【点睛】
本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
3．【答案】B
【解析】
因为，且==，
所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B.
4．【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.
【详解】
由是奇函数得
又因为得关于对称，
所以，
解得
所以当时，得A答案；
当时，得C答案；
当时，得D答案；
故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.
5．【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】
由得，
即函数的单调递减区间为
函数在区间内单调递减，则满足，得，
同时，则，则
当时，
当时，不等式无解
故的最大值为
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键，属于中档题.
6．【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的最小正周期得到的值，再根据的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到函数的最小值；
【详解】
解：因为，且的最小正周期为，所以解得，所以
因为
所以，所以
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.
7．【答案】A
【解析】
【分析】
根据周期公式可得，根据当时，函数取得最小值，可得，，所以，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.
【详解】
依题意得，解得，所以，
因为当时，函数取得最小值，
所以，，即，，
所以，
因为且，所以，
因为，
又，所以，
因为，所以，
综上所述：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.
8．【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.
【详解】
因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，
所以其最小正周期为，则.
所以.
将函数的图象向左平移个单位长度后，
可得的图象，
又因为是奇函数，令，
所以.又，
所以.
故.
当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；
当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；
在上，，单调递增，故C正确；
在上，，单调递减，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象求得函数的解析式，然后使用整体法，令计算即可.
【详解】
由题可知：
所以，则
，所以
又，所以
所以，
由在时取得最小值，所以
则，当时，有最小值.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据三角函数图像求解解析式，重在对的理解，考查计算能力，属基础题.
10．【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数在内的图像，同时画出的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值.
【详解】
画出函数在内的图像以及的图像如下图所示，令，解得，令，解得.由图像可知关于直线对称，关于直线对称，故，，所以.

【点睛】
本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.
11．【答案】8
【解析】
【分析】
直接由三角函数周期公式求解即可
【详解】
解：因为函数的周期为，
所以，解得ω＝8.
故答案为：8.
【点睛】
此题考查正弦型函数的周期，属于基础题.
12．【答案】2
【解析】
【分析】
根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得.
【详解】
和是两个相邻的对称中心，
，即，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.
13．【答案】2
【解析】
【分析】
首先构造新函数，利用辅助角公式化简，结合正弦函数的最值求得结果.
【详解】
令，
所以的最大值为2，
故答案为：2.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有三角函数的化简问题，正弦型函数的最值，属于简单题目.
14．【答案】③
【解析】
【分析】
先根据对称轴及最小正周期，求得函数的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.
【详解】
函数的最小正周期是，所以，则，
又图象关于直线对称，
所以对称轴为，代入可得，解得，
因为，所以当时， ，则，
对于①，当时，，的图象不过点，所以①不正确；
对于②，的单调递减区间为，解得，
当时，，又因为，则在上不是减函数，所以②错误；
对于③，的对称中心为，解得，当时，，所以是的一个对称中心，所以③正确；
对于④，将向右平移个单位长度，可得，所以不能得到的图象，所以④错误.
综上可知，正确的为③.
故答案为: ③.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题.
15．【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换的公式，化简，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.
（2）由，所以，分别求解的最大值和最小值，即可得到答案.
【详解】
（1）

令，，
解得，，
故函数单调递增区间为，
（2）因为，所以，
当，即时，，
当，即时，．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质的应用，其中解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等，着重考查了推理与运算能力.
16．【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．
【详解】
（1）
由图可得
且而,
故
综上
（2）显然
由得
的单调递增区间为..
由.
【点睛】
本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．
17．【答案】（1）对称轴方程是；（2）.
【解析】
【分析】
利用二倍角公式及辅助角公式化简函数得，
（1）由，可求解对称轴方程；
（2）由，求解函数的减区间，再由集合的包含关系即可得范围.
【详解】
==.
（1）由得，，
所以图象的对称轴方程是.
（2）由得，
所以的递减区间是，
取，得在上递减，
因为，所以当时在上递减，
即t的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.
18．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据二倍角余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,再根据正弦函数性质求值域；（2）先根据绝对值定义化简不等式,再根据函数最值得结果.
【详解】
（1）∵
，
又∵，
∴，即，∴；
（2）由恒成立，可得恒成立，
又∵，∴且，结合（1）知，
∴，即的取值范围是.
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质、不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得，利用三角函数的性质即可得解；
（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得，进而可得，利用三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由题意
，
因为，所以，
又，所以，
所以即；
（2）由可得，
因为，所以，
所以即，
由可得，所以，所以，
所以，，
所以.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
20．【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为，即周期，可得，即可求解对称轴；
（2）函数在，内有两个零点，，转化为函数与函数有两个交点，即可求解的范围；在，内有两个零点，是关于对称轴是对称的，即可求解的值．
【详解】
解：（1）∵已知函数f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为=π，
∴ω=2，
故函数f（x）=sin（2x-）．
令2x-=kπ+，k∈Z
得x=+，k∈Z，
故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．
（2）由（1）可知函数f（x）=sin（2x-）．
∵x∈[0，π]，
∴2x-∈[，]
∴-≤sin（2x-）≤，
要使函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点．
∴-＜m＜，且m
即m的取值范围是（-，）∪（-，）．
函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点x1，x2，
可得x1，x2是关于对称轴是对称的；
对称轴方=2x-，k∈Z．
得x=，
在[0，π]内的对称轴x=或.
当m∈（-，1）时，可得x1+x2=，
∴cos（x1+x2）=cos
当m∈（-1，-）时，可得x1+x2=，
∴cos（x1+x2）=cos=．
【点睛】
本题主要考查了的图象特征，转化思想的应用，属于中档题．
直通高考

1．【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.
所以函数最小正周期为
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、