数学分析--二重积分概念优秀PPT.ppt

返回,后页,前页,1,二重积分概念,二重积分是定积分在平面上的推广,不,同之处在于,:,定积分定义在区间上,区间的,长度容易计算,而二重积分定义在平面区,域上,其面积的计算要复杂得多,.,一、平面图形的面积,二、二重积分的定义及其存在性,三、二重积分的性质,返回,一、平面图形的面积,我们首先定义平面图形的面积,.,所谓一个平面图形,P,是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面,上,的有界点集,即存在一矩形,R,使得,设,P,是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一,组直线网,T,分割这个图形,(,图,21-1,),这时直线网,T,的,网眼,(,小闭矩形,),可分为三类,:,(i),上的点都是,P,的内点,;,(ii),上的点都是,P,的外点,即,(iii),上含有,P,的边界,点,.,将所有属于第,(,i,),类小矩形,(,图,21-1,中紫色部分,),的面,积加起来,记这个和数为,里,表,示包含,P,的那个矩,形,R,的面积,),;,将所有第,(i),类与第,(ii),类小矩形的,面积加起,来,(,图,21-1,中着色部分,),记这个和数为,则有,则有,(,这,由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,显然有,通常称,为,P,的,内面积,为,P,的,外面积,.,定义,1,若平面图形,P,满足,=,则称,P,为可求面,积的图形,并把共同值,作为,P,的面积,.,定理,21.1,平面有界图形,P,可求面积的充要条件是,:,数集,有上确界,有下确界,.,记,对任给的,总存在直线网,T,使得,证 必要性,设有界图形,P,的面积为,.,由定义,1,有,由,及,的定义知道,分别,存在直线网,与,使得,记,T,为由,与,这两个直线网合并所成的直线网,可证得,于是由,(3),可得,从而对直线网,T,有,充分性,设对任给的,存在某直线网,T,使得,但,所以,由,的任意性,得,因而平面图形,P,可求面,积,.,推论,平面有界图形,P,的面积为零的充要条件是它,的外面积,即对任给的,存在直线网,T,使得,或对任给的,平面图形,P,能被有限个面积总和,小于,的小矩形所覆盖,.,定理,21.2,平面有界图形,P,可求面积的充要条件是,:,P,的边界,K,的面积为零,.,证,由定理,21.1,P,可求面积的充要条件是,:,对任给,的,存在直线网,T,使得,由于,所以也有,由上述推论,P,的边界,K,的面积,为零,.,定理,21,.,3,若曲线,K,为定义在,上的连续函数,的图象,则曲线,K,的面积为零,.,证,由于,在闭区间,上连续,所以它在,上一致连续,.,因而,当,，,时,可使,在每个小区间,上的振幅都成,高的小矩形所覆盖,.,由于这,n,个小矩形面积的总和,立,即若把曲线,K,按,分,成,n,个小段,则每一小段都能,被以,为宽,为,因此由定理,21.1,的推论即得曲线,K,的面积为零,.,推论,1,参量方程,所表,示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零,.,证,由光滑曲线的定义，,均存在且不同时为零,.,由隐函数存在性定理,(,或,因此,(,或,),在,上有反函数,.,再由有限覆盖定理,可把区间,使得在每一段,上，,(,或,),存在,上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零,.,推论,2,由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面,图形都是可求面积的,.,分成,n,段,:,(,或,于是在,上,反函数,(,或,所以在,有连续的,注,平面中并非所有的点集都是可求面积的,.,例如,易知,因,此,是不可求面积的,.,二、二重积分的定义及其存在性,二重积分的几何背景是,求曲顶柱体的体积,.,设,为定义在可求,面积的有界闭域,D,上的,非负连续函数,.,求以曲,面,为顶,D,为,底的柱体,(,图,21-2),的体积,V.,图,21-2,采用类似于求曲边梯形面积的方法,.,(1),分割,:,先用一组平行于坐标轴的直线网,T,把区域,D,分成,n,个小区域,(,称,T,为区域,D,的一个分割,).,以,表示小区域,的面积,.,这个直,线网也相应地把曲顶柱体分割成,n,个以,为底的小,曲顶柱体,(2),近似求和,:,由于,在,D,上连续,故当每个,相差无几,因而可在,上任取一点,用以,的直径都很小时,在,上各点的函数值,i,s,为高,为底,的小平顶柱体的体积,作为,的,体积,的近似值,(,如,图,21-3,),即,把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体,体积,V,的近似值,(3),取极限,:,当直线网,T,的网眼越来越细密,即分割,T,的细度,(,为,的直径,),趋于零时,就,有,这类问题在物理学与工程技术中也常遇到,如求非,均匀平面的质量、重心、转动惯量等等,.,这些都是,所要讨论的二重积分的实际物理背景,.,上面叙述的问题都可归为以下数学问题,.,可求面积的小区域,以,表示小区域,的面积,这些小区域构成,D,的,为分割,T,的细度,.,在每个,上任取一点,作,一个分割,T,以,表示小区域,的直径,称,设,D,为,xy,平面上可求面积的有界闭域,为,定义在,D,上的函数,.,用任意的曲线网把,D,分成,n,个,称它为函数,在,D,上属于分割,T,的一个积分和,.,定义,2,设,是定义在可求面积的有界闭域,D,上的函数,.,J,是一个确定的实数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于,D,的任何分割,T,当它的,细度,时,属于,T,的所有积分和都有,和式,则称,在,D,上可积,数,J,称为函数,在,D,上二重积分,记作,其中,称为二重积分的被积函数,x,y,称为积,分变量,D,称为积分区域,.,当,时,二重积分,在几何上,就表示以,为曲顶,D,为底的曲顶柱体的,体积,.,当,时,二重积分,的值,就等于积分区域,D,的面积,.,注,1,由二重积分定义知道,若,在区域,D,上,可积,则与定积分情形一样,对任何分割,T,只要当,时,(4),式都成立,.,因此为方便计算起见,常,选取一些特殊的分割方法,如选用平行于坐标轴的,直线网来分割,D,则每一小网眼区域的,的面积,此时通常把,记作,注,2,如定积分那样类似地可证明,:,函数,在,可求面积的,D,上可积的必要条件是它在,D,上有界,.,设函数,在,D,上有界,T,为,D,的一个分割,它,把,D,分成,n,个可求面积的小区域,令,别称为,关于分割,T,的上和与下和,.,二元函,数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样,的性质,这里就不再重复,.,下面列出有关二元函数的,可积性定理,这里,只证明其中的定理,21,.,7.,作和式,它们分,定理,21,.,4,在,D,上可积的充要条件是,:,定理,2,1.,5,在,D,上可积的充要条件是,:,对,于任给的正数,存在,D,的某个分割,T,使得,定理,21,.,6,有界闭域,D,上的连续函数必可积,.,定理,2,1.,7,设,是定义在有界闭域,D,上的有,界函数,.,若,的不连续点都落在有限条光滑曲,线上,则,在,D,上可积,.,证,不失一般性,可设,的不连续点全部落在,某一条光滑曲线,L,上,并记,L,的长度为,l,.,于是对任,给的,把,L,等分成,段,:,在每段,上取一点,使,与其一端点的弧长为,以,为中心作边长为,的正方形,则,现在把区域,D,分成两部分,:,第一部分,第二部分,由于,在,上连续,根据定理,21,.,6,与定理,21,.,5,存在,的分割,使得,又记,以,T,表示由,与多边形,的边界所组成的区域,D,的,分割,则有,其中,是,在,D,上的振幅,.,由于,在,D,上有界,故,是有限值,.,再由定理,21,.,5,这,就证得了,在,D,上可积,.,三、二重积分的性质,二重积分与定积分具有类似的性质,现列举如下,:,上也可积,且,2.,若,在,D,上都可积,则,1.,若,在,D,上可积,k,为常数,则,在,D,在,D,上也可积,且,3.,若,在,和,上都可积,且,与,无公共,内点,则,在,上也可积,且,4.,若,与,在,D,上可积,且,则有,5.,若,在,D,上可积,则函数,在,D,上,也可积,且,6.,若,在,D,上可积,且,则有,这里,是积分区域,D,的面积,.,7.,(,积分,中值定理,),若,在有界闭域,D,上连续,则存在,使得,积分中值定理的几何意义,:,在,D,上,以,为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底,的平顶柱体的体积,这个平顶柱体的高等于,在,D,中某点,处的函数值,*,例,1,设,是,中有界闭域,是,上,可积函数,.,则,存在顶点在,上的折线,使得,其中,是由,所围成的多,证,设,令,时,就有,取分割,，使得,边形,.,由于,在,上一致连续,因此存在,直线,将,分割为,又将,分割为,则,复习思考题,1,.,设函数,在有界可求面积区域,D,上可积,求证,在,D,上有界,.,2,.,设函数,定义在可求面积区域,D,试证,在,上可积的充要,上,是,内一条光滑曲线,.,若,条件是,在,D,上可积,.,