《高中数学》必会基础题型5—《平面向量》.doc

《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。
3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。
4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。
8.三角形法则：
；；（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。
10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若，则，，
13.数量积与夹角公式：；
14.平行与垂直：；
题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。
（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若与共线， 与共线，则与共线。
（8）若，则。 （9）若，则。
（10）若与不共线，则与都不是零向量。
（11）若，则。 （12）若，则。
题型2.向量的加减运算
1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。
2.化简 。
3.已知,,则的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知的和向量，且，则 ， 。
5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1） （2）
2.已知，则 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量，如下图，请做出向量和。

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在中，是的中点，请用向量表示。
2.在平行四边形中，已知，求。
题型6.向量的坐标运算
1.已知，，则点的坐标是 。
2.已知，，则点的坐标是 。
3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 。
4.已知，，求，，。

5.已知,向量与相等，求的值。
6.已知，，，则 。
7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
2.已知，能与构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。
2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

题型9.求数量积
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），
（3），（4）。

2.已知，求（1），（2），（3），
（4）。

题型10.求向量的夹角
1.已知，，求与的夹角。
2.已知，求与的夹角。
3.已知，，，求。
题型11.求向量的模
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。

2.已知，求（1），（5），（6）。

3.已知，，求。
题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：】
1.与平行的单位向量是 。
2.与平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？

2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？
（2）为何值时，向量与平行？

3.已知是非零向量，，且，求证：。

题型14.三点共线问题
1.已知，，，求证：三点共线。

2.设，求证：三点共线。

3.已知，则一定共线的三点是 。
4.已知，，若点在直线上，求的值。

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

题型15.判断多边形的形状
1.若，，且,则四边形的形状是 。
2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知，，，求证：是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用
1.已知，，当为何值时，向量与平行？
2.已知，且，，求的坐标。
3.已知同向，，则，求的坐标。

3.已知，，，则 。
4.已知，，，请将用向量表示向量。

5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；
（2）若与的夹角为锐角，求的范围。
6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？

7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度。
10.【2007年广东卷】已知三个顶点的坐标分别为，，，
（1）若，求的值；（2）若，求的值。

【备用】
1.已知，求和向量的夹角。
2.已知，，且，，求的夹角的余弦。
1.已知，则 65 。
4.已知两向量，求当垂直时的x的值。
5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。
变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到，。
2.代入验证法
例：已知向量，则（ D ）
A. B. C. D.
变式：已知，请用表示。
解：设，则
即：
，即：
解得：，
3.排除法
例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（ D ）
A. B. C. D.
解：观察前三个选项都不与共线，所以选D。