高三数学全真模拟卷9.doc

高三数学全真模拟卷9
数学Ⅰ（必做部分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ．
2.已知全集，集合，则中最大的元素是 ．
3．已知，若函数的最小正周期是2,则
．
4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ．

While <10

End While
Print “”
5．已知函数，，则的单调减区间是 ．
6．在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：的概率为 ．
7．P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为： ．
焦点=,而的最小值是,所以答案为
8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列正确命题的序号是 ．
(1)若m∥,n∥,则m∥n， (2)若则
(3)若，且，则；(4)若，，则
9. 定义在上满足:，当时，=，则= 　　．
10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时 　　．
11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．

12. 已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足：则 ．
13. “”是“对正实数，”的充要条件，则实数 ．
14.函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围
是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量= ( sinx , 2 ) ，
= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.

16．在如图的多面体中，⊥平面，,，，
，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ)求多面体的体积.

17．已知双曲线的两焦点为，为动点，若．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天
花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆
环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），
同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3
的长度相等。设细绳的总长为
（1）设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并
指明此时 BC应为多长。

19．已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

20．(本小题满分16分)
函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.
（1）设函数f(x)=-x+2+alnx，其中a≠0。
①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间
（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2ÎR，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=，β=，若|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围.

数学Ⅱ（附加题）
一. [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.

2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.

二．[必做题] 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.

4. 已知数列满足：.
（Ⅰ）求证：使；
（Ⅱ）求的末位数字.

数学Ⅰ（必做部分）参考答案
1. 2. 3 3.－1 4. 28 5.
6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为
7. 焦点=,而的最小值是,所以答案为
8. (3) (4) 9.2
10当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，则，计算得= 11. ，
12.设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以
13. 若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。
14.由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得
15．解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因为=1
f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2
由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。
（2）∵·=（sinx，2）·（2sinx, ）=2sin2x＋1≥1，
·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，
∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)
2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2
cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z
kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z ∵0≤x≤π ∴＜x＜
综上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜ } 。
16．解：(Ⅰ)证明：∵，∴.
又∵,是的中点， ∴，
∴四边形是平行四边形，∴ .
∵平面，平面，∴平面.
(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面.
过作交于，则平面.
∵平面， ∴.
∵，∴四边形平行四边形，∴，
∴，又，∴四边形为正方形，∴，
又平面，平面,∴⊥平面.
∵平面, ∴.
(Ⅲ) ∵平面，，∴平面，
由（2）知四边形为正方形，∴.
∴，
17．解法一：
（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，
长轴长为4的椭圆，∴，又∵，．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意，可设直线为：．
① 取得，直线的方程是
直线的方程是交点为
若，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上，则直线只能为．
②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，
记，则．
设与交于点由得
设与交于点由得

，
∴，即与重合，
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为
取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，
记，则．
的方程是的方程是
消去得…………………………………… ①
以下用分析法证明时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明
即证即证……………… ②
∵∴②式恒成立．
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．
记，则．
的方程是的方程是
由得
即
．
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
18. （Ⅰ）解：在△COA1中，
，， ………2分
=
（）……7分
（Ⅱ），
令，则 ………………12分
当时，；时，，
∵在上是增函数
∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm …16分
19解：（1）由已知，得， ∴
（2）由得则，
∴，即，
于是有，并且有，
∴即，
而是正整数，则对任意都有，
∴数列是等差数列，其通项公式是。
（3）∵
∴
；
由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。
20．解：（Ⅰ）①=-1++ ∵=-1+1+a≠0，
∴函数f(x)不具有“1—1驻点性”.…………………………………………2分
②由==
(ⅰ)当a+＜0,即a＜-时，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；
(ⅱ)当a+=0,即a=-时，显然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；………………………………4分
(ⅲ)当a+＞0，即a＞-时，由=0得=±…………………………………………6分
当-＜a＜0时，-＞0∴xÎ(0, a+-)时，＜0;
xÎ( a+-, a++)时，＞0; xÎ( a++, +∞)时，＜0;
当a＞0时，-＜0 ∴xÎ(0, a++)时，＞0; xÎ( a++,+∞)时，＜0;
综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；
当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-)和( a++,+∞)，
函数f(x)的单调递增区间为( a+-, a++)；
当a＞0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, a++)，
函数f(x)的单调递减区间为( a++, +∞)；…………………………………………9分
（Ⅱ）由题设得：=3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴且
即解得∴=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域R上单调递减.
①当λ≥0时，有α=≥=x1，α=＜=x2，即αÎ[x1,x2),同理βÎ(x1,x2] ………11分
由g(x)的单调性可知：g(α)，g(β)Î[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|不符.
②当-1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞=x2……………………………………13分
即α＜x1＜x2＜β∴g(β)＜g(x2)＜g(x1)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，符合题设
③当λ＜-1时，α=＞=x2, β=＜=x1，即β＜x1＜x2＜α
∴g(α)＜g(x2)＜g(x1)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|也符合题设……… ……………………15分
由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1…… ……………………………………16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案
1．解：矩阵M的特征多项式为=.
令得矩阵M的特征值为－1和3 .
当
所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.
当
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.
2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.

∴当时，，当时，.
3．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
平面ABC的一个法向量为则 （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，解得的延长线上，且.
4．解：⑴当
假设当
则当时，
…

其中….
所以
所以；
（2），故的末位数字是7.