高中数学人教A版选修1-2222反证法学案.doc

2．2.2　反　证　法
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．

反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选D.

2．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(B)
A．a，b都与l相交 B．a，b至少有一条与l相交
C．a，b至多有一条与l相交 D．a，b都与l不相交
解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B.

3．用反证法证明“已知a3＋b3＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．
解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3＋b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．
答案：a＋b＞2　6(b－1)2＜0

4．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是________________________________________________________________________．
解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

(一)用反证法证明数学命题的一般步骤
(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；
(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：
(1)与已知条件矛盾；
(2)与假设矛盾；
(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；
(4)与简单的、显然的事实矛盾．

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．
使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：
原词
＝
＞
＜
∀x
成立
∀x
不成立
至少
一个
至多
一个
至少
n个
至多
n个
p或q
p且q

反设词
≠
≤
≥
∃x0
不成立
∃x0
成立
一个都
没有
至少
两个
至多
n－1个
至少
n＋1个
綈p且
綈q
綈p或
綈q)

1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．
3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：

　　4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③

2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)
A．①②③ B．①③②
C．③①② D．③②①
解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.

3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．
解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP　BAP＞∠CAP

4．求证：如果a>b>0，那么>(n∈N，且n>1)．
证明：假设不大于，则＝，或＜
当＝时，则有a＝b.
这与a＞b＞0相矛盾．
当＜时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．
所以＞.