难题突破专题一 规律归纳探索问题.doc

难题突破专题一　规律归纳探索问题
近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自
主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．
类型1　数字规律
1 2017·淮安 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

图Z1－1
则2017在第________行．
例题分层分析
(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；
(2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2017在第_______行
解题方法点析
解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．
类型2　数式规律
2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等．
(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；
(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.

图Z1－2
例题分层分析
(1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？
(2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？

解题方法点析
数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．
类型3　图形规律
3 [2017·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________．

图Z1－3
例题分层分析
(1)首先求出B点坐标________，
(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；
(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为、1、1，又2017÷3＝672……1，故其运动路径长为________．

图Z1－4
4[ 2017·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2017个图形的周长为________．

图Z1－5
例题分层分析
(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；
(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.
(3)第2017个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．

专 题 训 练
1．[2017·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为(　　)

图Z1－6
A．180 B．182
C．184 D．186
2．[2017·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为(　　)

图Z1－7
A．73 B．81
C．91 D．109
3．[2017·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为(　　)

图Z1－8
A．(－6，24) B．(－6，25)
C．(－5，24) D．(－5，25)
4．[2017·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：

图Z1－9
则第⑦个图案有________个黑色棋子．
5．[2017·郴州] 已知a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，…，则a8＝________．
6．[2017·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

图Z1－10
7．[2017·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．

图Z1－11
8．[2017·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是________．

图Z1－12
9．[2017·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2017的坐标为________．

图Z1－13

10．[2017·内江] 观察下列等式：
第一个等式：a1＝＝－；
第二个等式：a2＝＝－；
第三个等式：a3＝＝－；
第四个等式：a4＝＝－.
按上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第六个等式：a6＝________＝________；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________；
(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)；
(4)计算：a1＋a2＋…＋an.

参考答案
类型1　数字规律
例1　【例题分层分析】
(1)1　4　9　16　25　
(2)n2　1936　最大数为2025　45
[答案] 45
类型2　数式规律
例2　【例题分层分析】
(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
(2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1.
解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.
类型3　图形规律
例3　【例题分层分析】
(1)(－1，)　(2)6　不变　(5，)　(3)(＋896)π
[答案] (5，)　(＋896)π
例4　【例题分层分析】
梯　平行四边形　3　1　梯形　3025　3026　1　6053
[答案] 8　6053
专题训练
1．C　[解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184.
2．C　[解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：

第①个
第②个
第③个
第④个
…
第个
上半部分
1＝12
4＝22
9＝32
16＝42
…
n2
下半部分
2＝1＋1
3＝2＋1
4＝3＋1
5＝4＋1
…
n＋1
由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91.
3．B
4．19　[解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19.
5.
6．9n＋3　[解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3.
7．(－9 －9，9＋3 )　[解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，

∵AB⊥y轴，点B的坐标是(0，1)，且点A在直线y＝－x上，
∴点A的坐标为(－，1)，即OB＝1，AB＝，
∴OA＝2.由题意知，AB1＝AB＝，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋，
∵tan∠O2OC＝，∴∠O2OC＝30°，
∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝(3＋)×＝，
O2C＝O2Osin∠O2OC＝(3＋)×＝，
∴O2(－，)，O4(－，)，O6(－，)，
…，O12(－，)，
即O12(－9 －9，9＋3 )．
8．22017　[解析] 由图知，点B1的坐标为(1，1)；点A2的坐标为(1，2)；点B2的坐标为(3，2)；点A3的坐标为(3，4)；点B3的坐标为(7，4)；点A4的坐标为(7，8)，……寻找规律知B2018的纵坐标为22017.

9．(－2，0)　[解析] 根据旋转可得P1(－2，0)，P2(2，－4)，P3(0，4)，P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，故6个循环一次，2017÷6＝336…1，故P2017(－2，0)．
10．解：(1)a6＝＝－.
(2)an＝＝－.
(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－＋－＋…＋－
＝－＝.
(4)a1＋a2＋…＋an＝－＋－＋…＋－＝－＝.