微专题11等时圆模型的两种情况.docx

微专题11 等时圆模型的两种情况
【核心要点梳理】
1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。
2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。
3．两个竖直圆环相切且两圆环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

【微专题训练】
【经典例题选讲】
【例题】如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是(　　)

A．t1＝t2　　　　　　　　　 B．t2>t3
C．t1<t2 D．t1＝t3
[解析]　设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故选项A错误，B、C、D均正确。
[答案]　BCD
【变式1】(2018·江西省临川二中高三上学期第五次理综物理) 如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，现在有三条光滑轨道AB、CD、EF，它们的上下端分别位于上下两圆的圆周上，三轨道都经过切点O，轨道与竖直线的夹角关系为α>β>θ，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为 ( )

A．tAB＝tCD＝tEF　 B．tAB>tCD>tEF
C．tAB<tCD<tEF　 D．tAB＝tCD<tEF
[解析]　设上面圆的半径为r，下面圆的半径为R，则轨道的长度s＝2rcosα＋R，下滑的加速度a＝＝gcosα，根据位移时间公式得，s＝at2，则t＝＝，因为α>β>θ，则tAB>tCD>tEF，故B正确，A、C、D错误。
【变式2】【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三上学期期中考试】有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是60°，45°和30°，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是( )

A．甲最先，乙稍后，丙最后 B．乙最先，然后甲和丙同时到达
C．甲、乙、丙同时到达 D．乙最先，甲稍后，丙最后
【答案】B
【巩固习题】

(2018·黑龙江大庆一模)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆的圆周上，C是圆周上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点；B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是(　　)
A．tA<tC<tB
B．tA＝tC<tB
C．tA＝tC＝tB
D．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系
解析：　对于AM段，位移x1＝R，加速度a1＝gsin 45°＝g，根据x＝at2得，tA＝ ＝ ；对于BM段，位移x2＝2R，加速度a2＝gsin 60°＝g，得tB＝ ＝ ；对于CM段，同理可解得tC＝ ＝ ，故正确选项为B。
答案：　B
2.[2018·崇明模拟]如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点。竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则(　　)

A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点
C．c球最先到达M点 D．b球和c球同时到达M点
答案　C
解析　如图所示，令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足R＝gt，所以tc＝；对于a球，令AM与水平面成θ角，则a下滑时的加速度为a＝gsinθ，球下滑到M用时满足AM＝2Rsinθ＝gsinθt，即ta＝2；同理b球从B点下滑到M点用时也满足tb＝2(r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，所以r>R)。综上所述可得tb>ta>tc，C正确。
3.如图所示，两根长度分别为L1和L2的光滑杆AB和BC在B点垂直焊接，当按图示方式固定在竖直平面内时，将一滑环从B点由静止释放，分别沿BA和BC滑到杆的底端经历的时间相同，则这段时间为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　设BA和BC倾角分别为α和β，根据牛顿第二定律得：
滑环沿BA下滑的加速度为a1＝＝gsinα
沿BC下滑的加速度为a2＝＝gsinβ
设下滑时间为t，由题有：
L1＝a1t2
L2＝a2t2
由几何知识有：sinα＝cosβ
联立以上各式解得t＝，故C正确。
4.如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为(　　)

A．1∶1∶1 B．5∶4∶3
C．5∶8∶9 D．1∶2∶3
答案　A
解析　利用等时圆模型，以AC为直径画圆，B、D刚好在圆上，所以时间相等，故A正确。
5.(2016·山东潍坊高三期中)有一系列斜面，倾角各不相同，它们的底端相同，都是O点，如图所示。有一系列完全相同的滑块(可视为质点)从这些斜面上A、B、C、D…各点同时由静止释放，下列判断正确的是(　　)

A．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O点的速率相同，则A、B、C、D…各点处在同一水平线上
B．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O点的速率相同，则A、B、C、D…各点处在同一竖直面内的圆周上
C．若各斜面均光滑，且这些滑块到达O点的时间相同，则A、B、C、D…各点处在同一竖直面内的圆周上
D．若各斜面与这些滑块间有相同的动摩擦因数，滑到达O点的过程中，各滑块损失的机械能相同，则A、B、C、D…各点处在同一竖直线上
【解析】根据mgh＝mv2，小球质量相同，达O点的速率相同，则h相同，即各释放点处在同一水平线上，A项正确，B项错误；以O点为最低点作等时圆，可知从A、B点运动到O点时间相等，C项正确；若各次滑到O点的过程中，滑块滑动的水平距离是x，滑块损失的机械能为克服摩擦力做功，为Wf＝μmgcos θ·，即各释放点处于同一竖直线上，D正确。

【答案】ACD
如图所示。在倾角为θ的斜面上方的A点处旋转一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块由A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系(　　)

A．α＝θ B．α＝
C．α＝2θ D．α＝
解析：　

如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点。由等时圆模型的特点知，由A点沿斜面滑到D点所用时间比由A点到达斜面上其他各点所用时间都短。将木板下端B点与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝。
答案：　B
如图所示，AO、AB、AC是竖直平面内的三根固定的细杆，A、O位于同一圆周上，A点位于圆周的最高点，O点位于圆周的最低点，每一根细杆上都套有一个光滑的小环(图中未画出)，三个环都从A点无初速地释放，用T1、T2、T3表示各环到O、B、C时所用的时间，则(　　)

A．T1＞T2＞T3 B．T3＜T1＜T2
C．T1＜T2＜T3 D．T3＞T1＞T2
答案　D
解析　如图，小环沿杆下滑做匀加速直线运动，设∠OAB为θ，∠OAC为α，圆的半径为r，
则小环沿AO下滑时，做自由落体运动，时间为：T1＝
由匀变速运动规律得，滑环滑到B1点的时间T2′＝＝T1
而由图可知，滑到B点的时间T2＜T2′＝T1
同样根据匀变速运动规律可得滑到C1的时间T3′＝＝T1
而由图可知，滑到C点的时间T3＞T3′＝T1
故有T3＞T1＞T2.