导数期末复习试题及答案.doc

１函数的单调递减区间是 （－1，1）
2设曲线在点处的切线与直线平行，则
3函数的单调递增区间是
4函数的单调增区间为_______
5曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为 ．
6向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟，则 当水深为5m时，水面上升的速度为 ．
由体积相等得，所以，，
当h＝5时，t＝，所以v＝m/min．
7已知函数，函数图象在点处的切线方程为_______
8已知P点在曲线上，曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为 （1，0）
9函数y=x－2sinx在（0， 2）内的单调增区间为 ．
10若函数在内有极小值，则实数的取值范围是
11已知函数（a为常数），在区间上有最大值20，那么此函数在区间上的最小值为
12如图为函数的图象，为函数
的导函数，则不等式的解集为

13已知函数，当时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数有2个极值点； ②函数有3个极值点；
③=4，=0有一个相同的实根 ④=0和=0有一个相同的实根
其中正确命题的个数是
14已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是
15设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）， …2分
令，得，
∴的增区间为和，………4分
令，得，
∴的减区间为．………………………………………………6分
（2）因为，令，得，或，
又由（1）知，，分别为的极小值点和极大值点， ………8分
∵，，，
∴， ……………………………………………………………11分
∴． ………………………………………………………………………12分
16设的极小值为－8，其导函数的图象经过点，如图所示。
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求实数m的取值范围。
【解】（1）的图象过点
∴
∴（2分）
由图象知，恒成立，
∴上单调递增，
同理可知，上单调递减，
∴时，取得极小值，即 （4分）

解得a=－1，
∴ （6分）
（2）要使对都有恒成立，
只需即可 （8分）
由（1）可知，函数上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
且
（10分）
则－33
故所求实数m的取值范围为[3，11] （12分）
17造船厂年造船量20艘，造船艘产值函数为
（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为
（1）求利润函数及边际利润函数（利润=产值—成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大
（3）边际利润函数的单调递减区间
【解】（1）
；

（2）
，,
，有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）
（3），（11分）
所以，当时，单调递减，所以单调区间是，且
18已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
解：（Ⅰ）的定义域为， ………………………1分
当时，， ， ………………………2分

1

—
0
+

极小

………………………3分

所以在处取得极小值1. ………………………4分
（Ⅱ），
………………………6分
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增； ………………………7分
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增. ………………………8分

19已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；
【解】Ⅰ），，．
∴，且． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ），令，
则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．
在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；
当x∈时，，∴h(x)是减函数． …………………… 7分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分
即． …………………… 12分
20已知函数，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）由，得．
当时，得，
解之，得． ……………………4分
（Ⅱ）因为．
从而，列表如下：

1

＋
0
－
0
＋

↗
有极大值
↘
有极小值
↗
所以的单调递增区间是和；
的单调递减区间是． ……………………9分
（Ⅲ）函数，
有=，
因为函数在区间上单调递增，
等价于在上恒成立，
只要，解得，
所以的取值范围是． ……………………14分