艺术生高考数学专题讲义：考点28等差数列.doc

考点二十八 等差数列
知识梳理
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
3．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝.
4．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N＋
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
5．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
6．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
说明：等差数列{an}的通项公式可以化为an＝pn＋q(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.
7．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn，则
Sn＝＝na1＋d.
说明：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项.

8．等差中项
如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．
9．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
(6) 若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．
10．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
典例剖析
题型一 基本量法在等差数列中的运用
例1　设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于________．

变式训练 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．

题型二 利用等差数列的性质解题
例2　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则__________.
(2) 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．

变式训练 (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．
(2) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

题型三 等差数列的前n项和
例3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.

变式训练 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

题型四 等差数列的前n项和的最值问题
例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

当堂练习
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________．
2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于________．
3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－9，a3＋a7＝－6，则当Sn取得最小值时，n＝________．
5．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．

课后作业
一、 填空题
1． 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于________．
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．
3．在等差数列中，a2＝2，a10＝15，则a18的值为________．
4．在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
5．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于________．
6．已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝________．
7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
8．已知等差数列{an}满足a1>0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为________．
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
10．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

二、解答题
12． 设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.

13．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，求数列{an}的前n项和Sn的最大值.