概率论与数理统计课后答案.doc

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设为退化分布：

讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

解：（1）（2）不是；（3）是。
4.2 设分布函数如下定义：

问是分布函数吗？
解：不是。
4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。
证：对任意的，取充分大，使有

对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有
（1）
这时存在，使得当时有
（2）
成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有
（3）
（4）
由（1），（3），（4）可得
，
，
即有成立，结论得证。
4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。
证：对任意的有，故

即对任意的有成立，于是有

从而成立，结论得证。
4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：
（1）；（2）。
证：（1）因为故

即成立。
（2）先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有

从而有

由的任意性知，同理可证，由前述（1）有

故，结论成立。
4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。
证：不妨设对任意的，当时有，
因而。于是有

。
结论成立。
4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：

证：充分性，令，，则，故是的单调上升函数，因而，于是有

对任意的成立，充分性得证。
必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有

，
由的任意性知，结论为真。
4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。
证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有

成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。
4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。
证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有
（1）
现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有
（2）
（3）
对取定的，存在，当时有
（4）
于是当时，由（1），（2），（4）式有
又因为

于是由（1），（3），（4）式有
（6）
由（5），（6）两式可得

由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。
4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明
.
证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且

因为，故存在，当时有

令，因为，故存在，当时有

而

其中，当时有

因而，由的任意性知，结论为真。
4.13 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为

证明。
证：对任意的，有

故。
4.14 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

其中为常数，令，证明。
证：对任意的，为显然，这时有

对任意的，有

故成立，结论得证。
4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

令，证明。
证：设的分布函数为，有

这时有

对任意的，有

故成立，结论得证。
4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，若，证明。
证：这时也是独立同分布随机变量序列，且

由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知

结论成立。
4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。
证：已知，记，令，则

对任给的，由契贝晓夫不等式有

故，结论得证。
4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。
证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。
4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，则按分布收敛于。
证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知

按分布收敛于，结论成立。
4.22设为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。
证：这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然弱收敛于分布，由4.21题即知按分布收敛于分布，结论得证。
4.23 如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律（马尔柯夫大数定律）
证：由契贝晓夫不等式即得。
4.26 在贝努里试验中，事件出现的概率为，令
证明服从大数定律。
证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与独立，由4.24知服从大数定律，结论得证。
4.28设为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。
证：不妨设。否则令，并讨论即可。记，又。因为，故有

由4.23知服从大数定律，结论得证。
4.30设为一列独立同分布随机变量，共同分布为

试问是否服从大数定律？
答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。
4.31设为一列独立同分布随机变量，共同分布为

其中，问是否服从大数定律？
答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。
4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验？
解：令

据题意选取试验次数应满足，因为比较大，由中心极限定理有

故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而
，故可取。
4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。
解：令

因为排版与校对是两个独立的工序，因而

是独立同分布随机变量序列，，令，其中，由中心极限定理有

其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。
4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：
（1）保险公司亏本的概率多大？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？
解：保险公司一年的总收入为120000元，这时
（1） 若一年中死亡人数，则公司亏本；
（2） 若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；
若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；
若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；
令

则，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为
（1）

同理可求得
（2）

4.35 有一批种子，其中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少？
解：令

则，记，其中，据题意即要求使满足
。令，因为很大，由中心极限定理有

由分布表知当时即能满足上述不等式，于是知，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。
4.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？
解：令

则，记，其中，记，由中心极限定理有

即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。
4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？
解：令

则，记，其中尚待确定，它应满足，由中心极限定理有

查分布表可取，由此求得，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。
4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。
证：设独立同二项分布，即

的特征函数为，记的特征函数记作，因为，故，于是有

而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。
4.40 设随机变量服从---分布，其分布密度为

证：当时，的分布函数弱收敛于分布。
证：的特征函数为，易知的特征函数为

而

因而有

故，所以相应的分布函数弱收敛于分布，命题得证。
4.41设为一列独立同分布随机变量，且服从上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。
证：易知，于是

故，对任意的，存在，使当时有，因而，从而当，，若，由此知

即林德贝尔格条件满足，所以对成立中心极限定理，结论得证。
4.42 设皆为独立同分布随机变量序列，且独立，其中，证明：的分布函数弱收敛于正态分布。
证：这时仍是独立同分布随机变量序列，易知有

由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：的分布函数弱收敛于正态分布，结论得证。
4.45 利用中心极限定理证明：

证：设是独立同分布随机变量序列，共同分布为的Poisson分布，故
，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知

由Poisson分布的可加性知服从参数为的Poisson分布，因而
，但，所以

成立，结论得证。