高二数学下学期期末考试试卷(理).doc

2011年度高二年级期末考试
数学试题（理科）

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填在答题纸和答题卡上，并将考试号填涂在答题卡上的制定位置。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3．填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答案区域内，答在试题卷上无效。
4．考试结束，请将答题纸和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（为虚数单位）等于
A．1 B． C． D．
2．若命题：，则是
A． B．
C． D．
3．若，则等于
A． B．
C． D．
4．已知是等差数列，，则过点的直线的斜率是
A．4 B． C． D．
5．在中，，则的面积等于
A． B． C．或 D．或
6．的展开式中的系数是
A．16 B．70 C．560 D．1120
7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则共有的不同的排法种数是
A．1440 B．960 C．720 D．480
8．若点在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知点、分别为双曲线的左焦点、右顶点，点
满足，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．如图，是直棱柱，，点，分别
是，的中点，若，则与所成
角的余弦值为
A． B． C． D．
11．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平
（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为
A． B． C． D．
12．定义域为R的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．已知随机变量服从正态分布，若则________
14．已知，若，则=________________。
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为直线与抛物线相交于，两点，若的中点为，则直线的方程为__________________。
16．设等差数列的前项和为，若存在正整数，使得，则，类比上述结论，设正项等比数列的前项积为，若存在正整数，使得，则__________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。（注意：在试题卷上作答无效）
17．（本小题满分12分）
在中，分别是的对边长，已知
（I）若，求实数的值；
（II）若，求边长的值。

18．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，首项且成等差数列。
（I）求数列的通项公式；
（II）若，设为数列的前项和，求证：

19．（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求的极值；
（II）当时，若是减函数，求的取值范围。

20．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，
和均为等边三角形，

（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值。

21．（本小题满分12分）
某种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0～9中的两个数字（允许重复），中奖规则如下：
若购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；
若购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；
其他情况均无奖金。
（I）甲和乙在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求甲乙都中一等奖的概率；
（II）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件。“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件的含义，并求事件发生的概率；
（III）设购买一张这种彩票的收益为随机变量，求的数字期望。

22．（本小题满分14分）
设是椭圆的两点，，且，椭圆离心率，短轴长为2，为坐标原点。
（I）求椭圆方程；
（II）若存在斜率为的直线过椭圆的焦点为半焦距），求的值；
（III）试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

湛江二中08-09学年第二学期期末考试
高二数学试卷（理科）
本试卷共20小题，满分150分．考试用时120分钟．
（请用黑色钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上）
【参考公式】如果事件、互斥，那么.
如果事件、相互独立，那么
独立性检验“卡方统计量”公式.
其中

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、点的直角坐标是，则点的极坐标为
A． B． C． D．
2、(2+3x)6展开式中二项式系数最大的项为
A、第3项 B、第4项 C、第5项 D、第6项
3、我校计划把今年高考总分645分以上（含645分）的27名高三毕业生派到高一级和高二级介绍学习经验，其中甲生和乙生必须到高二级，而分到各级的学生不少于13人，则不同的分派方法共有
A．（）种 B．（）种 C．种 D．种
4、下列函数的最小值为2的是
A． B．
C． D．
5、甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点不相同”，B=“甲独自去一个景点”，则概率等于
A ． B ． C ． D．
6、下列说法中正确的是
A．若分类变量X和Y随机变量的观测值k越大，则“X与Y的相关”可信度越小
B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，
x，y间这种非确定性关系叫做函数关系
C．相关系数r越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱
D．若分类变量X和Y随机变量的观测值k越大，则残差平方和越小
7、已知随机变量~，且其正态曲线在上是增函数，在上为减函数，且，则的值分别是
A ．88，16 B ． 80，8 C ．80，64 D．88，4
8、已知为正数，且满足，则的最大值是
图（1）
A． B． C．56 D． 24
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9、极坐标方程的直角坐标方程是_________．
10、如图（1），是圆外的一点，为切线，
为切点，割线经过圆心，,则 __________.
用电量(度)
24
34
38
64
气温(0C)
18
13
10
-1

11．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程，其中．现预测当气温为时，用电量的度数约为_________．
12.某班主任对全班60名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

认为作业多
认为作业不多
喜欢玩电脑游戏
15
10
不喜欢玩电脑游戏
10
25
有_________的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多之间有相关关系。
13．已知函数，若对任意实数都有成立，则实数m的取值范围为 ．
14、已知，且，则2x+3y的最小值是___________________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分12分）求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.

16．（本小题满分14分）某批电子元件有10件，其中有1件次品，现从中任意地抽取3件进行检验. （1）当以不放回的方式抽取时，求恰好抽到1件次品的概率；
（2）当以放回的方式抽取时，求抽到的次品数的期望、方差、标准差. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

17．（本小题满分12分）设，，
（1）当时，，求。
（2）当时，展开式中的系数是20，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（3）展开式中的系数是19，当，变化时，求系数的最小值。

日销售量

频数

频率

m
n
18（本小题满分14分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如表： (1)完成上表，求m，n的值；
(2)若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．

19、（本小题满分14分） 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20．（本小题满分14分）
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
…………………………

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如下数表：设（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数. 数表中第行共有个正整数. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）若＝2010，求i、j的值；
（2）记N*),
试比较与的大小, 并说明理由.

湛江二中08-09学年第二学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
D
B
B
二、填空题：
17．解（1）赋值法：分别令，，得………3分
（2），………………………7分
（3）……………8分
的系数为： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以，当或时，展开式中的系数最小，为81。…14分
18．解:⑴ m= , n=……2分
⑵ ①依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率……3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设5天中该种商品有天的销售量为吨，则～……4分
……7分
②的可能取值为4，5，6，7，8……8分
，

4
5
6
7
8

……10分
的分布列为……12分
的数学期望为（千元）……14分．
19．解：（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
为直线
从而当时，
20．解：（1）数表中前行共有个数，
即第i行的第一个数是， …… 2分
∴＝．
∵，＝2010，
∴ i＝11． …… 4分
令,
解得． …… 6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）∵

． …… 7分
∴．
当时, , 则;
当时, , 则; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时, , 则;
当时, 猜想: . …… 11分
下面用数学归纳法证明猜想正确.
① 当时,, 即成立;
② 假设当时, 猜想成立, 即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则,
∵,
∴.
即当时，猜想也正确.
由①、②得当时, 成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,. …… 13分
综上所述, 当时, ; 当时,. …… 14分
另法( 证明当时, 可用下面的方法):
当时, C + C + C+ C

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
.

台州市2008学年第二学期高二期末质量评估试题
数 学（理科） 2009.07
命题教师: 路桥中学 陈茂慧 台州中学 王哲宝
审核教师：新河中学 金加斌
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的值是
　 A． B． C． D．
2. 抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
3. 已知，则向量的夹角为
A． B． C． D．
4. 已知函数, 则等于
A． B． C． D．
5. 下列四个命题：
①“，”是全称命题；
②命题“，”的否定是“，使”；
③若，则；
④若为假命题，则、均为假命题．
其中真命题的序号是
A．①② B．①④ C．②④ D．①②③④
6.已知：，:,若是的充分条件，则的取值范围为
A． B． C．或 D．或
7．到两定点距离之和为的点的轨迹方程是21世纪教育网
（第8题）
A． B．
C． D．
8. 如图，已知三棱柱的所有棱长均为，且⊥底
面，为的中点，为的重心，则的值为
A． B． C． D．
x
y
O
1
2
–2
（第9题）
9. 右图是函数的导函数的图象，下列说法错误的是
A．是函数的极小值点；
B．是函数的极值点；
C．在处切线的斜率大于零；
D．在区间上单调递增.
10．在中，，顶点在椭圆上，顶点为椭圆的左焦点，线段过椭圆的右焦点且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
11. 已知函数满足,则函数
的图象在处的切线方程为
A． B． C． D．
12. 已知点为椭圆和双曲线的一个交点，点、分别是椭圆
的左、右焦点，则的余弦值是
A． B． C． D．
13. 设是边长为的等边三角形，是内任意一点，到三边的距离分别为，根据三角形、、的面积之和等于的面积，可得为定值，由此类比：是棱长为3的正四面体内任意一点，且到各面的距离分别为，则的值为
A． B． C． D．
14. 已知点是双曲线右支上的任意一点,由点向双曲线的两条渐近线引垂线,垂足为和，则的面积为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
15．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则 ▲ ．
16．已知（其中、是实数，是虚数单位），则 ▲ ．21世纪教育网
A
B
D1
C1
B1
A1
D
C
E
（第18题）
17. 设向量且则 ▲ ．
18．如图，在正方体中，是中点，
则与平面所成角的正弦值为 ▲ ．

19. 已知，记,,…,
,则 　　 ▲ 　 ．
20. 若在圆内作条弦，两两相交，将圆最多分割成部分，有，则的表达式为 　　 ▲ 　　 ．
三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21．(本题满分6分)设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点. 若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

22. (本题满分8分)已知数列满足.
（Ⅰ）求，并猜想数列的通项公式；
（Ⅱ）令且，判断数列是否为等比数列？并说明理由.

23.（本题满分8分）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，在底面上的射影落在正方形内，的长为，到的距离分别为和, 是的中点．
（Ⅰ）求证：平面底面；
（Ⅱ）设是棱上的一点，若，求平面与底面所成的锐二面角余弦值的大小．
（第23题）

24.(本题满分8分）已知椭圆的长轴长为，分别为其左、右焦点，抛物线的焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过焦点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．

25.(本题满分10分）已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线　　
　 的斜率．
　（Ⅰ）求的最大值；
　（Ⅱ）令，试讨论函数在区间上零点的个数（为自然　
　对数的底数，）．

台州市2008学年第二学期高二期末质量评估试题
数学答题卷（理科） 2009.07
题 号
一
二
三
总 分
21
22
23
24
25
得 分

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案

二、填空题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
15. ．16. ． 17． ．
18． ．19. ． 20． .
三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21．(本题满分6分)设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点．若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．21世纪教育网

22. (本题满分8分)已知数列满足.
（Ⅰ）求，并猜想数列的通项公式；21世纪教育网
（Ⅱ）令且，判断数列是否为等比数列？并说明理由.

23.（本题满分8分）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，在底面上的射影落在正方形内，的长为，到的距离分别为和, 是的中点．
（Ⅰ）求证：平面底面；21世纪教育网
（Ⅱ）设是棱上的一点，若，求平面与底面所成的锐二面角余弦值的大小．

24.(本题满分8分）已知椭圆的长轴长为，分别为其左、右焦点，抛物线的焦点为. 21世纪教育网
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过焦点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．

25.(本题满分10分）已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线　　
　的斜率．
　 （Ⅰ）求的最大值；
　 （Ⅱ）令，试讨论函数在区间上零点的个数（为自
然对数的底数，）．

台州市2008学年第二学期高二期末质量评估试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
D
C
A
C
B
A
B
A
B
D
A
D
B
C
二、填空题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
15．2 16． 17． 18． 19． 20．．
三、解答题(本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21世纪教育网
21．解：若命题为真命题，则对恒成立，
∴，得； ………………2分
若命题为真命题，则方程组有两组不同的解，即 有两个不等根，
∴，得； …………………………4分
那么，命题为真命题而命题为假命题时，即且，得；
命题为假命题而命题为真命题时，即，得，；21世纪教育网
∴当命题和命题中有且只有一个是真命题时，．…………6分
22. 解：（Ⅰ）∵，∴，21世纪教育网
同样可得，， 猜想 ……………………………4分
（Ⅱ）不是等比数列.
方法一:由得
，
故不是等比数列. ……………………………………………8分
方法二:由得
21世纪教育网
，故不是等比数列. ………………………………………8分
23.解：（Ⅰ）是顶点在底面上的射影，底面，又平面，平面底面 ……………………………………………3分

（Ⅱ）如图，以为原点，以垂直的直线为轴，垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由正方
形长为4，且到的距离分别为
2、1，得，，，
,
,，
,
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，由得
,不妨取
，21世纪教育网
平面与底面所成锐二面角的余弦值的大小为 ……………8分
24.解：（Ⅰ）由可知， ，
所以椭圆的方程为： ……………………………4分 　
（Ⅱ）因为过点的直线与椭圆交于两点，
可设直线方程为：，，则21世纪教育网

所以
令，则，所以，而在上单调递增，
所以，当时取等号，即当时，
的面积最大值为3 ……………………………8分
25. 解：（Ⅰ）由题意知，∴ . 21世纪教育网
　 当时，，在上递增；
　 当时，，在上递减.
所以，的最大值为. ……………………………4分
（Ⅱ），且
因为，所以.
当时，，当时，. 21世纪教育网
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以， ………………………7分
下面讨论函数的零点情况．21世纪教育网
①当，即时，函数在上无零点；　
②当，即时，，
又，则
而，，∴在上有一个零点；
③当，即时， ,
由于，，
，21世纪教育网
所以，函数在上有两个零点.　　　
综上所述，在上，有结论：当时，函数无零点；当 时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. ……………10分

孝感高中2008-2009学年度下学期期末考试
高 二 数 学（理）
第I卷 （共50分）
一． 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1．已知，下面结论正确的是（ ）
A．在x=1处连续 B． C． D．
2．用数学归纳法证明：“”在验正n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）
A．1 B．1+a C． D．
3．复数等于（ ）
A．1+ i B．-1-i C．1-i D．-1+i
4．若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量服从正态分布，，则等于（ ）
A．0.32 B．0.16 C．0.68 D．0.84
6．函数在下面哪个区间内是减函数（ ）
A． B． C． D．
7．若数列满足：，且对任意正整数m、n，都有，则=（ ）
A． B． C． D．2
8．对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
9．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a，甲、乙分在同一组的概率为P，则a、P的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，其中为常数，若在上是单调函数，且，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

孝感高中2008—2009学年度下学期期末考试
高二数学（理）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
第Ⅱ卷 （共100分）
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在题中的横线上）
11．采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是 ．
12．=
13．设随机变量的概率分布为，a为常数，k=1，2，…，则a= ．
14．= .

15．从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的3位数，这个数不能被3整除的概率为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）设复数，若,求实数a、b的值．

17．（本题满分12分）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0）、（2，0），如图所示．求（1）x0的值．（2）a, b, c的值

18．（本题满分12分）为了美化绿化校园，把校园建设成园林式校园，学校号召在校园内种树活动，某人一次种植了n棵樟树，各棵樟树的成活与否是相互独立的，成活率为P，设为成活樟树的棵数，数学期望，标准差
（1）求n，P的值，并写出的分布列；
（2）若有3棵或3棵以上的樟树未成活，则需要补种，求需要补种的概率．

19．（本题满分12分）设函数，（1）求的解析式并指出定义域；（2）是否存在常数a，b使得函数是R上的连续函数？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由．

20．（本题满分13分）已知，函数在x=0处取得极值，曲线过原点O(0,0)和点P(-1,2)，若曲线在点P处的切线l与直线的夹角为45°，且直线l的倾斜角．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间[2m-1,m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若，求证．

21．（本题满分14分）如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？

孝感高中2008-2009学年度下学期期末考试
高二数学（理）参考答案
一． 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
B
A
D
A
A
B
二．填空题
11． 12．i 13．4 14．-3 15．
三．解答题
16.解： （5分）
又由得
（8分）

（12分）
17．（1） 由已知 （3分）
，又由图可知，在x=1左边有，x=1右边有 （5分）
是函数极大值 （7分）
（2）由（1）得 解得 （12分）
18．解：（1）依题意可得～B（n.P） (3分)
的分布列表

0
1
2
3
4
5
6
P

（7分）
（2）记“需要补种樟树”为事件A，则P（A）=P（）
或P（A）=1-P（）= （12分）
19．（1）解：当时， （2分）
当时， （4分）
当时，
当时， （6分）
（7分）
（2）欲使函数在R上连续，只需
且
即 解得
存在常数a,b，使得函数在R上连续，且a=0,b=1. (12分)
20．

时， （13分）
21．