方法技巧专题四 构造法训练.doc

方法技巧专题四　构造法训练
构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性．常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形．
一、选择题

图F4－1
1．如图F4－1，OA＝OB＝OC，且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是(　　)
A．40° 　B．50°
C．60° 　D．70°
2．已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是(　　)
A．6 B．3 C．－3 D．0
3．设关于x的一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足(　　)
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β
C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
二、填空题
4．如图F4－2，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于________．

图F4－2

5．如图F4－3，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜x的解为________．

图F4－3
6．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．
7．[2016·成都] 如图F4－4，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝________．

图F4－4
8．如图F4－5，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.

图F4－5
(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；
(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞”或“＝”或“＜”填空)．
三、解答题
9．如图F4－6，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝6 m，CD＝4 m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)

图F4－6

参考答案
1．C　[解析] 以点O为圆心，以OA为半径作⊙O.∵OA＝OB＝OC，∴点B，C在⊙O上．∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故选C.注：此题构造了圆．
2．A　[解析] (1)当m＝n时，(m－1)2＋(n－1)2＝2(m－1)2.此时当m＝1时，有最小值0.
而m＝1时，代入原方程求得a＝.
∵不满足条件a≥2，∴舍去此种情况．
(2)当m≠n时，
∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的方程x2－2ax＋2＝0的两个根．
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1
＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3.
∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值．∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6.故选A.
注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．

3．D　[解析] 一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根实质上是抛物线y＝(x－1)(x－2)与直线y＝m两个交点的横坐标．如图所示，显然α＜1且β＞2.故选D.

注：此题构造了二次函数．
4．15　[解析] 分别将线段AB，CD，EF向两端延长，延长线构成一个等边三角形，边长为8.则EF＝2，AF＝4，故所求周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
注：此题构造了等边三角形．
5．3＜x＜6　[解析] 作直线OA，易知直线OA的解析式为y＝x.由图可知，不等式kx＋b＞0的解为x＜6；不等式kx＋b＜x的解为x＞3.所以不等式0＜kx＋b＜x的解为3＜x＜6.
注：此题构造了一次函数y＝x.
6．x1＝－4，x2＝－1　[解析] 根据方程的特点联想二次函数的顶点式．将函数y＝a(x＋m)2＋b的图象向左平移2个单位得函数y＝a(x＋m＋2)2＋b的图象，因此将方程a(x＋m)2＋b＝0的解x1＝－2，x2＝1分别减去2，即得所求方程的解．
注：此题构造了二次函数．

7.　[解析] 如图，作直径AE，连结CE，则∠ACE＝90°.

∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°.
∴∠ACE＝∠AHB.
∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC.
∴＝.∴AB＝.
∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，
∴AB＝＝.
注：此题构造了直角三角形．
8．(1)15　(2)＝　

[解析] (1)平行四边形的面积等于底乘高；(2)如图，连结BE，并延长BE交CD的延长线于点G，连结CE.易证△EAB≌△EDG.∴BE＝EG.
∴S四边形ABCD＝S△BCG＝2S△BCE＝BC·EF＝15.
注：此题根据平行线间线段的中点构造了全等三角形．

9．解：如图，延长AD交BC的延长线于E，过点D作DF⊥BE于F.

∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°.
∵CD＝4，∴DF＝2，CF＝2 .
由题意得∠E＝30°，∴DC＝DE.
∴CE＝2CF＝4 .∴BE＝BC＋CE＝6＋4 .
∴AB＝BE×tan E＝(6＋4 )×＝2 ＋4.
答：电线杆的高度为(2 ＋4)m.
注：此题构造了直角三角形．三角函数只能应用于直角三角形中，因此用三角函数解决四边形或斜三角形的问题时，必须构造直角三角形．