《中考聚焦：圆的有关计算与证明》.doc

《中考聚焦：圆的有关计算与证明》教学设计
任课教师：薛芊
【教学目标】
1．知识目标：①结合模拟考试，梳理圆中的概念、性质和定理；
②再次掌握垂径定理，圆周角、圆心角定理，圆切线的性质和判定，并会用来解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法，以及直角三角形、相似在解决圆问题中的作用。
2．能力目标：①通过对圆类型题目的探究和归纳，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①通过归纳，找到做题的突破口，树立自信，从而发现数学的美；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用，圆周角、圆心角定理及其应用，圆切线的性质判定及其应用。
【教学难点】在圆中构造直角三角形、在圆中利用相似解决问题。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】多媒体课件、三角板、圆规等。
【教学设计】
一、垂径定理及其推论
命题角度：1. 垂径定理的应用；
2. 垂径定理的推论的应用．
例1 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16厘米，则球的半径为________厘米．

[解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连结OF，设OF＝x，
则OM＝16－x，MF＝8.
在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，
即(16－x)2＋82＝x2，
解得x＝10.

二、圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
例2 如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？说明理由．

[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；
(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.
解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴BD＝CD.∴BD＝CD.
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，
∠CBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.
由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
三、圆周角定理及推论
命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；
2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
例3 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝________°.

[解析] 连结OC，∵OA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠AOC＝∠AOB＝50°，
∴∠ADC＝∠AOC＝25°.
四、圆的切线的性质
命题角度：1. 已知圆的切线得出结论；
2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．
例4 如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
(3)求AC.

[解析]
(1)连结OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行进行证明；
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．
(3)在圆与直角三角形同时出现求线段长度的时候，还要考虑通过证明特殊三角形相似来解决问题.
解：(1)证明： 连结OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.
又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC.
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2，
∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2，
即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，
故⊙O的半径为3.
(3)由Rt△BOD∽Rt△BAC，得BO/AB=OD/AC,
即AC=8×3/5=4.8
五、圆的切线的判定方法
命题角度：1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；
2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
例5 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，
AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，
且AP＝AC.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)求PD的长．

[解析] (1)首先连结OA，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，利用等边对等角求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；
(2)由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．
解：(1)证明：连结OA.
∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.

又∵OA＝OC, ∴∠ACP＝∠CAO＝30°.
∴∠AOP＝60°.
又∵AC＝AP, ∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.
∴OA⊥AP, 故AP是⊙O的切线．
(2)连结AD. ∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°.
∴AD＝AC·tan30°＝3×＝.∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，
∴∠P＝∠PAD，∴PD＝AD＝.
六、小结
做题技巧：
1. 求弦求一半，用弦用一半(垂径定理)；
2. 用切线时连接过切点的半径，证切线时仍然连接过切点的半径；
3．在圆中求线段长度时，首先考虑构造直角三角形利用相似、勾股定理或锐角三角函数解题。