空间角的求法-学生版.doc

空间角的求法
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法
异面直线所成的角的范围：
（一）平移法
【例1】已知四边形为直角梯形，，，平面，且，，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小。
【答案】

（二）补形法
A1
C1
C
B
A
B1
D
【变式练习】已知正三棱柱的底面边长为8，侧棱长为6，为中点。求异面直线 与所成角的余弦值。
【答案】

二、直线与平面所成角
直线与平面所成角的范围：
方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）
【例2】如图，在三棱锥中，，，，点在平面 内的射影在上，求直线与平面所成的角正切值。
【答案】

【变式练习1】如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形。
，，求与平面所成的角正弦值。
【答案】

【变式练习2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，
，求直线与平面所成角的正弦值。
【答案】

三、二面角的求法
二面角的范围：
求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法：
（一）定义法：
在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）
【例3】在三棱锥中，，求二面角的余弦值。
A
B
C
N
M
P
Q
【答案】

【变式练习】如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成角，与面所成角的大小为，求二面角的大小。
【答案】为

（二）利用三垂线
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
从半平面内的任一点出发向另一个半平面引一条直线，过作棱的垂线，垂足为，连，则由三垂线定理可证,故就是二面角的平面角。
三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。
【例4】如图，在三棱锥中，，，，点在平面 内的射影在上，求二面角的正切值。
【答案】

【变式练习】在直三棱柱中，，，直线与平面成 角，求二面角的正弦值。
A
B
C
B1
C1
A1
N
Q
【答案】二面角的正弦值为

从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。
（三）面积法（面积射影法）
C

D
A
E
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小。
求证：

A1
D1
B1
C1
E
D
B
C
A

【例5】 如图，为正方体的棱的中点，求平面和底面所成锐角的余弦值。
【答案】所求二面角的余弦值为

【变式练习】如图，是正方形所在平面外一点，且面，，。
求面与面所成二面角的大小。
【答案】

四、真题演练
1．（山东）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）

2．（大纲）已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）

3．（山东）如图所示，在三棱锥中，平面，,分别是，的中点，，与交于点，与交于点，连接。
（1）证明：∥；
（2）求二面角的余弦值。

4．（四川理）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．
（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．

5．如图，在四棱锥中，且；平面平面，，；为的中点，．求：
（1）点到平面的距离；（2）二面角的大小。

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