连续系统复频域分析.doc

实验五 连续信号与系统复频域分析的MATLAB实现
一、实验目的
1. 掌握连续时间信号拉普拉斯变换的MATLAB实现方法；
2. 掌握连续系统复频域分析的MATLAB实现方法。
二、实验原理
1. 连续时间信号的拉普拉斯变换
连续时间信号的拉普拉斯正变换和逆变换分别为：

Matlab的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）提供了能直接求解拉普拉斯变换和逆变换的符号运算函数laplace()和ilaplace ()。
例5-2还可以利用MATKAB部分分式展开法求拉普拉斯逆变换
如果是的实系数有理真分式，则可写为：

式中分母多项式称为系统的特征多项式，方程称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。为将展开为部分分式，要先求出特征方程的个特征根，这些特征根称为极点。根据的极点或特征根的分布情况，可以将展开成不同的部分分式。
利用Matlab中的residue( )函数可对复杂的域表示式进行部分分式展开，其调用形式为：
[r,p,k] = residue(num, den)
其中，num(numerator)、den(denominator)分别为分子多项式和分母多项式的系数向量，r为所得部分分式展开式的系数向量，p为极点，k为分式的直流分量。
如果不是多项式，我们可以利用conv（）函数先将其现有的因子相乘的形式转化为多项式的形式然后调用residue（）函数。
然后再由基本的laplace变换对得的反变换；
2. 连续系统的复频域分析
若描述系统的微分方程为

则系统函数为

其中，。通过分析系统函数的零、极点分布，可以掌握系统的特性。若的所有极点都分布于左半开s平面，则该因果系统是稳定的；否则，该因果系统是不稳定的。在MATLAB中，可利用多项式求根函数root( )来确定系统函数的零、极点。
（1）系统稳定性分析
A( s)、B(s)是关于s的多项式，由其系数分别构成向量：
，
若执行如下命令，即可完成的零、极点的计算：
p=roots(a) %求A(s)的根（的极点），并将结果返回给向量p
q=roots(b) %求B(s)的根（的零点），并将结果返回给向量q
注意：绘制系统的零极点分布图可以根据已求的零极点，利用plot语句画图，还可以由H(s)直接应用pzmap函数画图。pzmap函数的调用格式为：
pzmap(sys)
（2）系统频率特性分析
对于因果系统来说，若系统函数H(s)的收敛域包含s平面的虚轴（jw轴），则其频率响应H(jw)存在，且。因此，分析系统频率特性之前，要先对系统的稳定性作分析。
三.实验内容
1. 用laplace( )求函数的拉普拉斯变换。
可以用simple函数对多项进行化简。
syms t
f1=sym('cos(10*pi*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t)');
F1=laplace(f1)
simple(F1)
结果ans =
(s+2)/(s^2+4*s+4+100*pi^2)：
2. 用ilaplace( )求的原函数f(t)。
H=sym('s+3/(s^2+6*s+10)');
h=ilaplace(H)
结果：h =
dirac(1,t)+3*exp(-3*t)*sin(t)
3. 已知系统函数为，利用MATLAB画出该系统的零极点分布图；求出该系统的单位冲击响应和幅频响应，并判断系统是否稳定。
a=[1 2 2 1];
b=[1];
t=0:0.001:5;
sys=tf(b,a);
subplot(221);
pzmap(sys)
subplot(222)
impulse(sys,t);
p=roots(a)
pxm=max(real(p));
运行结果:

a=[1 2 2 1];
b=[1];
if pxm>=0
'系统不稳定'
else
freqs(b,a)
end
运行结果:

四. 实验报告要求
1、列出M文件和运行结果。
2、总结运用函数laplace、ilaplace、freqs分析连续信号、连续系统频率特性的方法。
答：laplace的使用如下所示
f1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');
F1=laplace(f1)
f2=sym('t*exp(-t)*Heaviside(t)');
F2=laplace(f2)
ilaplace的使用如下所示
H=sym('1/(s^2+3*s+2)');
h=ilaplace(H)

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