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《垂直于弦的直径》的教学设计
阎良区振兴初级中学 高亚玲

【教材分析】
《垂直于弦的直径》是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十四章第24.1.2节内容。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据．
【学情分析】
1、学生已学过轴对称图形的概念及其性质；数的范围已经扩充到实数，能灵活运用勾股定理解决实际问题．
2、学生在第24.1.1节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念．
3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学数学问题的能力．
【教学目标】
1、知识与技能目标：
①理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
②掌握垂径定理及其推论．
③学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．
2、过程与方法目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法．
3、情感与态度目标：
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
【教学重点】
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．
【教学难点】
垂径定理及其推论的运用．
【教学用具】
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件．
【教学过程】
圆形纸张、圆规、直尺、投影仪．
【教学过程】
一、 创设问题情境：
教师提问：世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识．
学生：回答问题之后，一边观看图片，一边聆听老师的讲述，引发思考．
（通过赵州桥知识的简单介绍，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，激发学生的好奇心和获得新知的欲望．）
教师指出：欲解决此问题，必须具备圆中“垂直于弦的直径”的一些重要性质．
二、 探究学习新知：
活动一：教师播放幻灯片，显示实践探究内容及要求．
将圆形纸张沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
学生按要求动手折叠圆形纸张若干次，经历观察、思考、归纳等数学活动过程，得到结论．
教师利用幻灯片，显示结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
（此设计是让学生亲自动手折叠圆形纸张，发现“直径两边的两个半圆完全重合”，给学生直观感受，易于接受和掌握．）
活动二、垂径定理及推论的发现与证明．
B
A
D
C
E
O
┐
（1）
1、（思考）如图（1），AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E．
① 这个图形是轴对称图形吗？
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
教师播放幻灯片显示问题，引导学生采用小组合作的学习方式，前后四
人一组，分组讨论．教师巡回指导，适时给予点拨．之后教师投影显示问题
的答案．师生归纳总结垂径定理．
（垂径定理中的“……平分弦”的证明，学生易发现多种证明方法，
但对于“平分……两条弧”的证明学生第一次遇到，接受起来比较困难．
因此，幻灯片显示用叠合法证明垂径定理的过程，不仅使学生易接受和初
步理解，而且规范学生几何证明的书写过程．）
2、如图（2），AB是⊙O的一条（非直径）的弦，点E是AB的中点，
E
B
A
D
C
O
（2）

过点E作直径CD．问：直径CD⊥弦AB吗？为什么？你还能得出什么结论？
解：直径CD⊥弦AB．理由：连接OA和OB．由ＯA＝ＯB可知△AOB
是等腰三角形．又因为点E是AB的中点，所以直径CD⊥弦AB．
由垂径定理知直径CD平分弦AB所对的两条弧．
教师提出问题，引导学生进行思考和讨论，总结出垂径定理的推论．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
想一想：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？（采用画图举反例
的方法让学生明白“弦是直径时此结论不一定成立”．）
3、教师再次强调，垂径定理及其推论的题设和结论的区别与联系，
播放幻灯片显示垂径定理及其推论的几何语言表达，使学生进一步将这
部分知识理解．
活动三、实践应用
教师启发引导学生分析解决求赵州桥半径问题后，反思小结此类问题的解决规律．
三、 巩固提高，灵活运用：课本P82 练习1、2．
四、小结升华：
（1） 本节课你学到了哪些数学知识？
（2） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
（3） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？
学生围绕三个问题进行所学知识小结．师生相互交流补充，明确本节课学习的基本知识和解题方法．教师强调运用垂径定理解决问题时，一定要明白“知二得三”、“半弦半径弦心距”的含义，务必做到准确灵活运用．（采用问题形式进行小结，使学生在回顾本节课所学知识的同时，掌握基本的解题方法，养成梳理知识的习惯．）
五、布置书面作业：
（1）课本P88页第8题、第9题、第10题．
（2） 补充作业
如右图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？