江西省普通高等学校招生全国统一考试仿真卷五理科数学试题Word版含答案.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（五）
本试题卷共16页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2017重庆一中]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：，则，故选C．
2．[2017重庆联考]已知（是实数），其中是虚数单位，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】由题设可得，则，故，应选答案A．
3．[2017长郡中学]在等差数列中，，则数列的前11项和（ ）
A．24 B．48 C．66 D．132
【答案】C
【解析】设等差数列公差为，则，所以有
，整理得，，，故选C．
4．[2017枣庄模拟]已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，解得，故选A．
5．[2017衡阳八中]甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则，
依题意得：，解得，故选C．
6．[2017云师附中]秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（ ）

A．248 B．258 C．268 D．278
【答案】B
【解析】该程序框图是计算多项式，当时，，故选B．
7．[2017雅礼中学]四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．72 B．96 C．144 D．240
【答案】C
【解析】先从为男生中选为捆绑在一起，和剩余的为男生，插入到为女生所形成的空隙中，所以共有种不同的排法，故选C．
8．[2017师大附中]已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【解析】 设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，，所以由题设可得，
因为，即，所以，应选答案A．
9．[2017湖南十三校]已知函数的定义域为，且，又函数的导函数的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由导函数图象，可知函数在上为单调增函数，
∵，正数满足，∴，
又因为表示的是可行域中的点与的连线的斜率．
所以当与相连时斜率最大，为，
当与相连时斜率最小，为，
所以的取值范围是，故选A．
10．[2017南阳一中]如图所示，，，是圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，∴，展开得，∴，当时，即，∴．当趋近于射线时，由平行四边形法则可知，此时且，∴，因此的取值范围是，故选D．

11．[2017正定中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，其中四边形为矩形，平面平面．该多面体的外接球球心在中垂面上，其中为三角形外心．设，则由得，解得，所以该多面体的外接球半径，因此其表面积为，故选C．

12．[2017郑州一中]已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为，若，且对任意的恒成立，
即，因为，即，对任意恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足，
当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为是的根，即，
所以
所以，因为，故整数的最大值为3，故选B．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．[2017湖南十三校]函数是奇函数，则等于__________．
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，
所以，有．
14．[2017天水一中]如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为 ．

【答案】
【解析】由图可得．
15．[2017湖南十三校]双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
【答案】

【解析】设直线与圆相切于点，
则，
取的中点，连接，
由于，则，
由，
则，即有，
由双曲线的定义可得，
即，即，，
即，，即，
则．故答案为：．
16．[2017南白中学]设是等比数列，公比，为的前项和，记，，设为数列的最大项，则 ．
【答案】
【解析】等比数列的前项和公式得，
则，
令，则，
当且仅当时，即时等号是成立的，即，即时取得最大值．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）[2017湖北七校]已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）已知锐角的两边长分别为函数的最大值与最小值，且的外接圆半径为，求的面积．
【答案】（1），（2）．
【解析】（1）
又，∴，∴，
∴函数的值域为．
（2）依题意不妨设的外接圆半径，
，
，
∴．
18．（本小题满分12分）[2017长沙一中]为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关．

平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数

女性驾驶员人数

合计

（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．
参考公式与数据：，其中

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为平均车速超过与性别有关；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）

平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
因为，
所以有的把握认为平均车速超过与性别有关．…（6分）
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．
可取值是0，1，2，3，，有：

分布列为

0
1
2
3

．…（12分）
19．（本小题满分12分）[2017怀仁一中]三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【解析】（1）连接，，在中，
∵是中点，∴，
又∵平面，
∴平面．
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，，
，，．
设平面的法向量，
，
令，则，，∴，∴，
∴平面．
（3）设平面的法向量为，，
，
令，则，，
∴，
∴，
所求二面角的余弦值为．
20．（本小题满分12分）[2017广东联考]椭圆的左、右焦点分别为．
（1）若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆过点，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，且的面积为，求椭圆的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
∴，，，
∴，
两边同除以得，，
解得．
（2）由已知得，
把直线代入椭圆方程，得，
∴．
∴．
由椭圆的对称性及平面几何知识可知，面积为：
，
∴，解得，∴．
故所求椭圆的方程为．
21．（本小题满分12分）[2017抚州一中]已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；
（2）若，函数在上为增函数，求证：．
【答案】（1）或；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，∴或，
当时，，∴的方程为：，
当时，，∴的方程为：．
（2）由题可得对恒成立，
∵，∴，即对恒成立，
∴，即对恒成立，
设，
则，∴在上递增，
∴，∴．
又，即，
∴．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）[2017衡阳八中]选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，过点的直线参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）∵（为参数），
∴直线的普通方程为．
∵，∴，
由得曲线的直角坐标方程为．
（2）∵，∴，
设直线上的点对应的参数分别是，
则，
∵，∴，∴，
将，代入，得，
∴，
又∵，∴．
23．（本小题满分10分）[2017衡阳八中]选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）若，解不等式；
（2）若有最小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）时，，即，
，解得，所以解集为．
（2）因为，
所以有最小值的充要条件为，
即．