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第四章数字图像的变换域处理
数字图像处理的基本方法有两大类：一类是根据图像像素数据的空间表示进行处理，称为空间域法；另一类方法是对图像像素数据的空间表示进行某种变换，针对变换数据进行处理，称为变换域法。图像变换是图像变换域处理的基础，本章将介绍常用的图像变换方法。对于一维函数，定义在上，变换的主要思想是确定一组基函数，正变换定义为：
（4-1）
其中，为基函数的复共轭，反变换定义为：
（4-2）
选择不同的基函数，就产生不同的变换，变换可以根据基函数的性质分为正交与非正交、线性与非线性、可分离变换等。
4.1傅里叶变换
傅里叶变换是常用的正交变换，其变换基函数是，如果函数满足狄里赫莱条件，即：具有有限个间断点、具有有限个极值点且绝对可积，则其傅里叶变换一定存在，正变换为：
（4-3）
反变换为：
（4-4）
由于，也就是说傅里叶变换的基函数具有正交特性，傅里叶变换是正交变换。另外，成立，说明傅里叶变换是线性变换，由于傅里叶变换的二维基函数可以写为，二维函数的傅里叶变换为：
（4-5）
也就是说，二维函数的傅里叶变换可以首先对坐标进行变换，然后再对变换结果进行方向的变换，因此，傅里叶变换是可分离变换。综上所述，傅里叶变换是线性、正交、可分离变换。表4.1给出了一些常用函数的傅里叶变换。
表4.1一些常用函数的傅里叶变换
函数

高斯

矩形脉冲

三角脉冲

冲激脉冲

1
余弦

正弦

复指数

如果二维函数满足狄里赫莱条件，则其傅里叶变换为：
（4-6）
其反变换为：
（4-7）
由于傅里叶变换的基函数为，对于一实函数，其傅里叶变换结果为复函数，可以表示为：
（4-8）
其中，与分别为变换结果的实部与虚部，根据变换结果，可以获得幅值信息与相位信息，幅值信息表示为：
（4-9）
相位信息表示为：
（4-10）
图4.1给出了图像的幅值信息与相位信息。
c
b
a

图4.1 Lena图像的幅值信息与相位信息, (a)Lena图像, (b) Lena图像的幅值信息，(c) Lena图像的相位信息。
4.1.1傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质在傅里叶变换的应用中具有较为重要的作用，表4.2给出了一些重要的傅里叶变换的性质。
表4.2傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质
数学表达式
备注
线性性质

为的傅里叶变换
相似性定理

为的傅里叶变换
位移定理

为的傅里叶变换
卷积定理

为的傅里叶变换
微分性质

为的傅里叶变换
拉普拉斯

为的傅里叶变换
Rayleigh定理

为的傅里叶变换
旋转性质

为顺时针方向的旋转角度
可分离乘积

共轭对称性

为复共轭
周期性

为整数，为方向的周期
根据傅里叶变换的共轭对称性有，
（4-11）
说明傅里叶变换的幅值信息是以坐标原点对称的，根据傅里叶变换的周期性性质，傅里叶变换的幅值信息与相位信息是在空间上的延展。对于数字图像函数，其直流分量，位于变换结果的左上角，如图4.1 (a)所示，对数字图像来说，一般习惯上通过位移性质，将直流分量移到变换结果的中心处，根据位移性质，给函数乘以，然后计算其傅里叶变换，即可以将低频分量移到变换结果的中心处[见图4.2]。

图4.2 Lena图像直流分量移到变换结果的中心的幅值信息
根据傅里叶变换的性质可以实现某些函数傅里叶变换的快速计算，如计算高斯函数的傅里叶变换，根据表4.1，有
（4-12）
将高斯函数改写为：
（4-13）
其中，，根据相似性定理，有
（4-14）
如计算高斯函数的傅里叶变换，根据位移定理，很容易得到
（4-15）
卷积定理是傅里叶变换比较重要的性质，我们在第二章中利用卷积定理解释了截断、采样对信号的影响，在数字信号处理与图像处理中卷积定理有很重要的应用，例如对于一个未知的线性系统，其输出函数与输入函数的关系可以描述为：
（4-16）
其中，为此线性系统的冲激响应函数，其唯一的描述了此线性系统，求解冲激响应函数称为线性系统辨识，可以利用卷积定理实现，已知输入函数，通过测量系统的对应输出可以得到，利用卷积定理有，
（4-17）
其中，、为输出函数、输入函数对应的傅里叶变换，为冲激响应函数，有
， （4-18）
通过求的傅里叶变换可以获得冲激响应函数，即：
（4-19）
4.1.2离散傅里叶变换及其矩阵表示
式（4-3）、（4-3）给出了连续函数的傅里叶变换形式，但在数字信号与数字图像中，信号都是以其有限个抽样点来表示的，定义在离散信号域的傅里叶变换称为离散傅里叶变换（DFT, Discrete Fourier Transform），也可以说离散傅里叶变换是傅里叶变换针对离散信号的实现方式，如果一维函数由个抽样点表示，其离散傅里叶变换定义为：
（4-20）
其中，。离散傅里叶逆变换为：
（4-21）
系数可以置于正变换前面，也可以置于逆变换前面，也可以分为分别置于正变换与逆变换前面，本书为了与MATLAB统一，将系数可以置于逆变换前面。由式（4-20）可以看出，为向量之和，也就是说离散傅里叶变换的直流分量位于频域的零点处。傅里叶变换的周期性质表明，，说明傅里叶变换的频谱以为周期重复，根据傅里叶变换的共轭对称性质，有，说明傅里叶变换的频谱以坐标圆点对称。周期性质说明，的幅值信息与是相同的，也就是说，的幅值信息是包含了两个紧邻的半周期，为了在内获得一个全周期，可以通过位移性质，在变换前给乘以，将中心移到处。
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式，对于一个的向量，其离散线性变换可以表示为：
（4-21）
其中，为变换结果，为的变换矩阵，如果矩阵是非奇异的，其逆矩阵存在，其逆变换可以表示为：
（4-22）
如果逆矩阵等于变换矩阵的共轭转置，有
（4-23）
则称矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式（4-21）的矩阵表示，变换矩阵为：
（4-24）
其中，将系数分为分别置于正变换与逆变换前面，其逆矩阵为：
（4-25）
可以看出：离散傅里叶变换的逆矩阵等于变换矩阵的共轭转置，所以属于酉变换。对于任何酉变换都有，说明变换矩阵的各行构成了维向量空间的一组正交基矢量，维向量空间的任意一向量都可以投影到此正交基矢量，所以变换的过程可以理解为在此空间一组基向量的正交投影，变换结果是该向量在对应基矢量的投影系数。逆变换可以理解为在维向量空间的任意一向量可以用单位基矢量的加权和重构。如果变换矩阵的逆矩阵等于变换矩阵的的转置，则变换矩阵为正交矩阵，如果为对称矩阵，则正变换与反变换相同，有
， （4-26）
离散傅里叶变换属于酉变换，但变换矩阵并不是正交矩阵。
如果表示一幅大小为的图像，其中，，二维离散傅里叶变换定义为：
（4-26）
其离散傅里叶逆变换为：
（4-27）
对于二维情况，将矩阵变换成矩阵的线性变换可以表示为以下的矩阵运算：
（4-28）
其中，变换核矩阵为四下标的矩阵，可以理解为每行有个块，共有行，每个块又是矩阵。对于二维离散傅里叶变换，变换核矩阵为：
（4-29）
由于二维离散傅里叶变换是可分离变换，则变换矩阵可以写为：
（4-30）
其中，为的矩阵，为的矩阵。式（4-28）可以写为：
（4-31）
可以看出，与具有相同的形式，则称该二维变换为对称变换，二维离散傅里叶变换为可分离的对称变换，可以写成式（4-31）的矩阵形式，由于、均为酉矩阵，其逆变换可以写为：
（4-32）
如果矩阵、为的矩阵，有
（4-33）
则式（4-31）可以进一步简化为：
（4-34）
其反变换为：
（4-35）
4.1.2离散傅里叶变换的MATLAB编程
与傅里叶变换相关的MATLAB函数主要有fft()、ifft()、fft2()、ifft2()、fftn()、ifftn()、fftshift()。fft()、ifft()为一维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数，fft2()、ifft2()为二维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数，fftn()、ifftn()为维离散傅里叶变换的正变换与反变换函数。fftshift()的作用是将零频移至变换中心。对于一的图像f，计算其二维离散傅里叶变换的MATLAB的语句为：
>> F=ff2(f);
返回值F仍然为的数组，零频在左上角，四个四分之一周期交汇于频率矩阵的中心，由于返回值F是复数数组，其幅值谱可以用函数abs()获得，即：
>>S=abs(F);
由于傅里叶变换结果的低频分量很大，使得其它分量显示很不明显，通常取其对数形成相对幅值谱，用以下命令：
>>S=log(abs(F)+1);
其对于Lena图像的结果显示于图4.1(b)中，其相位谱可以用以下命令获得，
>>B=atan(imag(F)/real(F));
其中imag()函数取其复数数组各元素的虚部，real()函数取其复数数组各元素的实部，atan()函数计算对应值的反正切。Lena图像的结果显示于图4.1(c)中，为了显示完整的周期，通常将傅里叶变换的零频移至变换中心，用函数fftshift()，其格式为：
>>FC=fftshift(F);
Lena图像的移动后的频谱结果显示于图4.2中，对比图4.2与图4.1(b)，可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵A、B的卷积
>>[M,N]=size(A);
>>[P,Q]=size(B);
>>p1=M+P-1;
>>q1=N+Q-1;
>>A1=fft2(A,p1,q1);
>>B1=fft2(B,p1,q1);
>>C=A1.*B1;
>>C1=ifft2(C);
其中fft2(A,p1,q1)是将图像A扩展为矩阵后再计算其傅里叶变换。
4.2离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Discrete Cosine Transform, DCT)的变换基矢量为余弦函数，一维离散余弦变换的基矢量为：
（4-36）
其中， 系数定义为：
（4-37）
一维离散序列，对应的离散余弦变换定义为：
（4-38）
其中，，其逆变换定义为：
（4-39）
离散余弦变换可以写成矩阵形式，有：
（4-40）
其中变换矩阵为：
（4-41）
逆变换写成矩阵形式为：
（4-42）
其中为变换矩阵的逆变换，有：
（4-43）
对比式（4-41）与式（4-43），可以看出：，说明离散余弦变换属于正交变换、酉变换，其变换矩阵为正交矩阵。
二维离散余弦变换定义如下，对于一的二维离散函数，其离散余弦变换为：
（4-44）
其中，变换系数、定义与式（4-37）相同，其逆变换为：
（4-45）
其中，，。由于二维离散余弦变换属于可分离变换，而且两个分量的函数形式相同，正变换写成矩阵形式为：
（4-46）
变换矩阵见式（4-41），其逆变换为：
（4-47）
4.2.2离散余弦变换的MATLAB编程
MATLAB提供了两种方法计算离散余弦变换，第一种方法是调用快速离散余弦变换函数dct2()计算离散余弦变换，第二种方法是调用dctmtx()函数生成变换矩阵，然后应用矩阵乘法计算离散余弦变换，由于dctmtx()函数只能生成方阵型的变换矩阵，第二种方法仅适用于计算方阵的离散余弦变换。函数dct2()的调用格式为：
>>F=dct2(f,m,n);
其中，f为进行离散余弦变换的二维数组，可选参量m,n的含意是可以在变换之前将f进行零扩充，扩充至由m,n参量指定大小的数组。如果不指定m,n，则变换结果F是与f同样大小的数组。由于F中的变换系数差别很大，所以一般对变换系数取对数进行频谱显示。
例4.2编程实现对Lena图片计算其离散余弦变换。
>>f=imread('E:\matlab7\lena.bmp');
>>g=rgb2gray(f);
>>g1=dct2(g);
>>g2=log(abs(g1)+1);
>>imshow(g);
>>figure;
>>imshow(g2,[]);

图4.3 Lena图像DCT变换结果
Dctmtx()函数的调用格式为：
>>T=dctmtx(n);
函数返回值T为的变换核矩阵，对于的方阵A，可以使用矩阵运算B=T*A*D’ 计算其DCT变换。
例4.3利用Dctmtx()函数编程实现对Lena图片计算其离散余弦变换。
>>f=imread('E:\matlab7\lena.bmp');
>>g=rgb2gray(f);
>>[n,n]=size(g);
>>T=dctmtx(n);
>>g1=T*double(g)*T’
>>g2=log(abs(g1)+1);
>>imshow(g);
>>figure;
>>imshow(g2,[]);
在JPEG压缩标准的基本子系统中，用到了DCT变换。DCT变换有很好的信息集中能力，保留一小部分变换系数，就可以较好的恢复图像。下边的例子只保留了变换系数前10个分量，其它54个系数置为零，
>> f=imread('E:\matlab7\lena.bmp');
>> g=rgb2gray(f);
>>g1=im2double(g);
>>T=dctmtx(8);
>>B=blkproc(g1,[8,8],’P1*x*P2’,T,T’);
>>mask=[1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0]
>>B1=blkproc(B,[8,8],’P1.*x’,mask);
>>g2=blkproc(B1,[8,8],’P1*x*P2’,T’,T);
>>imshow(g);
>>figure;
>>imshow(g2);

图4.4 Lena图像只保留前十个系数的结果
由图4.4可以看出：虽然图像会损失一些细节，但是用很少的DCT变换系数就可以基本恢复图像，说明DCT变换有很好的信息集中能力。
4.3离散哈特利变换
离散哈特利变换的基函数也是余弦型函数，一维离散哈特利变换的基矢量为：
（4-48）
其中，，一维离散序列，对应的离散余弦变换定义为：
（4-49）
其中，，其逆变换定义为：
（4-50）
离散哈特利变换可以写成矩阵形式，有：
（4-51）
其中变换矩阵的元素为：
（4-52）
逆变换写成矩阵形式为：
（4-53）
其中为变换矩阵的逆变换，由式（4-52）可以看出：变换矩阵为对称的实矩阵，且其逆矩阵，说明离散哈特利变换属于正交变换、酉变换，对称变换，其正变换矩阵与逆变换矩阵相同。
二维离散哈特利变换定义如下，对于一的二维离散函数，其离散哈特利变换为：
（4-54）
其逆变换为：
（4-55）
其中，，。由于哈特利变换是将傅里叶变换的基矢量的实部与虚部相加构成的实数基，哈特利变换是对应函数的傅里叶变换的实部减虚部，傅里叶变换的实部是对应函数的哈特利变换的偶部，傅里叶变换的虚部是对应函数的哈特利变换的奇部。所以哈特利变换的很多性质可以从傅里叶变换的性质推导出来，如哈特利变换的卷积定理为：如果，有，
（4-56）
其中，、为函数、对应的哈特利变换，、为函数对应的哈特利变换的偶部与奇部。

4.4方波型变换
傅里叶变换、余弦变换与哈特利变换等的基函数为连续函数，是分布在的振荡函数，统称为正弦型变换族。另外一类变换其基函数是取值为0，1或其它值的方波信号统称为方波型变换，常见的方波变换有哈达玛(Hadamard)变换、沃尔什(Walsh) 变换、斜变换(Slant)与哈尔(Haar)变换。
4.4.1哈达玛变换
哈达玛(Hadamard)变换是对称的、可分离的酉变换，一维离散哈达玛变换的基矢量为：
(4-57)
其中，函数为二进制表示的第位，指数上的求和是以2为模的。一维离散序列，，对应的离散哈达玛变换定义为：
（4-58）
其反变换定义为：
（4-59）
离散哈达玛变换可以写成矩阵形式，有：
（4-60）
根据式(4-57)可以看出：变换核矩阵中只能取+1或-1，所以属于方波型变换。变换矩阵为对称的酉矩阵，有，所以其反变换的矩阵形式为：
（4-61）
哈达玛变换矩阵可以用矩阵的克罗内克积由低度阶哈达玛变换矩阵递推得到，对于矩阵A、B，
，
其克罗内克积为：
（4-62）
如果令，则可以利用递推公式计算，其阶哈达玛变换矩阵为：
（4-63）
例如，4阶哈达玛变换矩阵为：

8阶哈达玛变换矩阵为：
变换矩阵为：

哈达玛变换矩阵每行的元素符号变化次数称为该行的列率，列率反映了对应基矢量的变化频次，类似于傅里叶空间的频率，对于8阶哈达玛变换矩阵，其列率分别为0、7、3、4、1、6、2、5，如果将哈达玛变换变换矩阵各行按列率递增的顺序重新排列就会生成一个新的变换矩阵，基于此矩阵的变换称为有序哈达玛变换。如8阶有序哈达玛变换矩阵为：

对于一的二维离散函数，其哈达玛变换为：
（4-64）
其逆变换为：
（4-65）
其变换核函数为：
（4-66）
由上式可以看出，变换核函数可以写为：
（4-67）
说明哈达玛变换是可分离的对称变换，二维正变换写为矩阵形式为：
（4-68）
变换矩阵与一维哈达玛变换矩阵相同，其逆变换为：
（4-69）
4.4.2沃尔什变换
一维沃尔什变换的基矢量为：
(4-70)
其中，函数为二进制表示的第位。一维离散序列，，对应的离散沃尔什变换定义为：
（4-71）
其反变换定义为：
（4-72）
离散沃尔什变换可以写成矩阵形式，有：
（4-73）
根据式(4-70)可以看出：变换核矩阵中只能取+1或-1，所以属于方波型变换。变换矩阵为对称的酉矩阵，有，所以其反变换的矩阵形式为：
（4-74）
8阶沃尔什变换矩阵如下：

对比8阶沃尔什、哈达玛变换矩阵，可以得出：沃尔什、哈达玛变换矩阵具有相似的形式，只是基矢量的排列列率不同，所以有些书将沃尔什、哈达玛变换混合使用，沃尔什-哈达玛变换常用来指两者中的任何一个。
对于一的二维离散函数，其沃尔什变换为：
（4-75）
其逆变换为：
（4-76）
其变换核函数为：
（4-77）
由上式可以看出，变换核函数可以写为：
（4-78）
说明沃尔什变换是可分离的对称变换，二维正变换写为矩阵形式为：
（4-79）
变换矩阵与一维沃尔什变换矩阵相同，其逆变换为：
（4-80）
4.4.3斜变换
斜变换(slant)变换也称为斯拉特变换，是对称的、可分离的正交酉变换，一个的斜变换矩阵可以通过的哈达玛矩阵：
（4-81）
基于下式迭代产生，斜变换要求，为整数。
（4-82）
其中，为阶数为的单位阵，，，例如，4阶斜变换变换矩阵为：

（4-83）
由上述变换矩阵可以看出：斜变换的基矢量由两类，一类是取值为1或-1的方波型基函数，另一种是取值呈线性的线性基函数，线性基函数可以匹配图像中具有线性变换的成份。另外，斜变换变换矩阵的各行列率从0按增序变化到。
4.4.4哈尔(Haar)变换
哈尔(Haar)函数是定义在连续闭区间[0，1]离散函数，其中，，哈尔(Haar)函数定义如下：
， （4-84）

（4-85）
其中，参数、由下式确定，对于某一个整数，，可以唯一确定参数，对应的参数为：
（4-86）
例如：时，有，；时，有，；对于一维离散序列，，，对应的哈尔变换定义为：
（4-87）
其逆变换为：
（4-88）
哈尔变换与上述所有变换有一些显著不同的特点，首先，基函数是定义在[0，1]的紧致区间，其次，虽然哈尔基函数由单一的参数决定，但可以分解为和两个参数，参数规定了方波的尺度，参数决定了方波的位置。哈尔变换的基函数也可以理解为不同尺度的方波通过平移生成的一组基。哈尔变换可以写成矩阵形式，有：
（4-89）
变换核矩阵为酉矩阵，有，所以其反变换的矩阵形式为：
（4-90）
根据式（4-84）、（4-85），有
， ，可以求得阶的哈尔变换矩阵如下：
（4-91）
如果表示一幅大小为的图像，其中，二维离散哈尔变换定义为：
（4-92）
其离散哈尔逆变换为：
（4-93）
由于二维离散哈尔变换属于可分离变换，而且两个分量的函数形式相同，正变换写成矩阵形式为：
（4-94）
其逆变换为：
（4-95）
4.4.4方波型变换的MATLAB编程
4.5基于特征分析的变换
对于矩阵，有个标量，，使得：
（4-96）
其中为单位矩阵，标量称为对应矩阵的特征值，满足：
（4-97）
的向量称为矩阵的特征向量，每个特征值对应一个特征向量，个特征向量形成一正交基。将根据矩阵产生个特征向量的过程称为矩阵的特征分析。
4.5.1霍特林(Hotelling)变换
霍特林变换也称为主分量分析或离散卡胡南和列夫(KL，Karhunen & Loeve)变换，为的随机向量，其个样本表示为，的均值可以用其个样本估计，有，
（4-98）
协方差矩阵为：
（4-99）
协方差矩阵为的实对称矩阵，对其进行特征分析，获得个特征值与其对应的特征向量，，按递减的顺序排列特征向量形成的矩阵A。霍特林变换定义为：
（4-100）
变换后的随机变量均值为0，其协方差矩阵为：
（4-101）
由于协方差矩阵为对角矩阵，所以随机变量各元素间是不相关的。霍特林变换的逆变换定义为：
（4-102）
4.5.2奇异值分解
奇异值分解又称SVD变换，对于任意一个矩阵A都可以表示为：
（4-103）
其中，和的列分别为与特征向量，为的对角矩阵，由于和是正交的，所以有，
（4-104）
式（4-104）和式（4-103）分别为SVD变换的正变换与反变换。对果矩阵A是对称的，有
4.6小波变换
正弦型变换的基函数是定义在的范围内，而瞬态信号只在一个很短的区间内出现，图像的许多重要特征也是在空间分布中是高度局部化的，当然，正弦型变换如傅里叶变换能够用基函数之和表示任何分析函数，但是，其变换系数对于一个局部化的信号具有较宽的分布，而且这些系数只是反映了对应基函数所代表的频率成份在信号中的强度，也就是说，正弦型变换如傅里叶变换是将时域或空域信号投影到频域空间。变换系数虽然反映了基函数所代表的频率成份在信号中的强度，但是，不能反映对应频率成份的空间或时间位置信息。随后出现了时频域分析方法，如加窗傅里叶变换、短时傅里叶变换等，时频域分析方法是将信号投影到时-频平面，其变换系数不仅反映了对应频率分量的强度，而且也反映了其时间位置。小波变换是较新的时频域分析方法，在时域与频域都具有很好的局部化特性，与正弦型变换不同，小波变换是通过定义在局部空间的母小波缩放、平移形成小波基函数，小波变换的过程是将待分析信号投影到这些基函数。
4.6.1连续小波变换
连续小波变换基函数是由一小波变换母函数通过平移和伸缩生成的，若是一实函数，而且其频谱满足条件
（4-105）
则可以作为一小波变换母小波函数。由上式可以看出：为保证式（4-105）成立，，有
（4-106）
母小波函数必须为均值为0的函数，另外，保证式（4-105）成立，有
（4-107）
据此，小波变换中的母小波函数在时域应是均值为零的实函数，其频率响应符合条件、，因此类似于一带通滤波器。小波变换母函数通过平移和伸缩生成小波基函数的过程可以表示为：
（4-108）
其中，为实数，且。为小波基波函数的尺度因子，为平移因子。系数作用是保证每个小波基函数的范数相等，对于一维函数基于小波基函数的小波变换为：
（4-109）
小波逆变换为：
（4-110）
如果为二维小波母函数，据此生成的二维小波基为：、
（4-111）
其中，为方向的平移因子。对于二维函数，基于的小波变换定义为：
（4-112）
连续小波变换从空域或时域的角度理解为一个符合条件（4-105）的紧支(compact)函数在不同尺度下与信号进行局部匹配，由于该函数是紧支的，不能覆盖待分析信号的所有分布范围，所以通过平移对待分析信号各部分进行匹配。变换系数反映了函数从处开始与尺度为的紧支函数的匹配程度。这一点可以从式（4-112）坐标变换形式加以验证，坐标变换形式如下：
（4-113）
现在我们以一维连续小波变换为例，说明连续小波变换在频域的物理意义。式（4-109）可以写为：

如果令，则上式可以写为：
（4-114）
其中，*为卷积运算，由上式可以看出：小波变换是函数与小波基函数的翻转函数的卷积运算，根据傅里叶变换的卷积性质，小波变换在频域可以理解为对函数进行一系列线性滤波器的滤波过程，每个尺度定义了不同的带通滤波器，如果表示函数对应的傅里叶变换，则根据傅里叶变换的相似性定理，的傅里叶变换为：
（4-115）
上式表明：随着尺度因子增加，带通滤波器的形状不变，但带宽会降低为原带宽的。小波逆变换式（4-110）可以改写为：
（4-116）
由上式可得，连续小波变换逆变换是将小波系数通过再次滤波后，加权求和可以恢复原函数。

4.6.2二进小波
连续小波变换的尺度因子与平移因子为连续的实数，虽然可以获得很好的信号分解或分析结果，但单从表示上来说有很大的冗余。二进小波是将尺度因子限定为2的整数幂，即，为的整数；平移因子为尺度因子与小波宽度的整数倍即，为的整数；给定母小波函数，符合式（4-105）的条件，二进小波的基函数为：
（4-117）
其中，因子是为了保证每个基函数的范数为1，给定一维函数，其二进小波变换为：
（4-118）
由上式可以看出：一个连续函数的二进小波系数是由两个无限序列组成的，所以也是超完备的，其逆变换为：
（4-119）
由于平移因子为尺度因子与小波宽度的整数倍，有，
（4-120）
如果选择合适的母小波函数，使得：
（4-121）
则有，
（4-122）
也就是说，构成一组正交基，对于属于此空间的任何函数都可以用此组正交基如式（4-119）进行展开，系数的计算即是如式（4-118）的小波变换过程。
如果小波母函数是分布在[0，1]区间的紧支函数，则的取值范围为，对于给定的，平移因子的取值范围为。在这种情况下，正交归一基函数族可以用单一的参数确定，有
（4-123）
其中，为满足的最大整数，。式（4-118）的小波正变换为：
（4-124）
其中也为定义在[0，1]中的函数，逆变换为：
（4-125）
符合上述条件的小波变换称为紧支二进小波，紧支二进小波将一连续函数展为一无限序列，哈尔小波就是一种紧支二进小波。其小波母函数为定义在[0，1]的方波，通过二进尺度与平移产生一组正交基函数。
4.6.3离散小波变换
离散小波变换的重要基础是子带编码，我们首先回顾子带编码的主要内容，然后讨论离散小波变换。
1子带编码
给定信号，其傅里叶变换为，截止频率为，有
（4-126）
根据采样定理，如果以采样间隔符合以下条件：
（4-127）
则，可以无失真的以一离散序列表示，。对其采用一理想低通滤波器进行滤波，理想低通滤波器表示为：
(4-128)
其中，函数为方波函数，有

（4-129）
用该低通滤波器对进行滤波，有
（4-130）
是滤波后的结果，保持了原有频谱的低频分量，根据傅里叶变换的性质，在时域对应的形式为：
（4-131）
其中，为的傅里叶逆变换，表示为：
（4-132）
函数为：
（4-133）
式（4-131）对应的离散表达式为：
（4-134）
由于只保留了的低半带部分，所以其截止频率为截止频率的一半，即，所以对进行采样间隔为的采样不会丢失任何信息，对应的采样函数为：
（4-135）
采样过程可以描述为：
（4-136）
由于只有偶数点为1，采样是将奇数点置0，只保留偶数点，又称间隔采样或下采样。采样结果只保留的偶数点，所以长度为。采用与互补的带通滤波器对进行滤波可以获得的上半带高频信息，有
（4-137）
其中，带通滤波器表示为：
（4-138）
其对应的时域表达式为：
（4-139）
根据傅里叶变换的性质，式(4-137)对应的时域表达式为：
（4-140）
对利用式（4-135）描述的采样函数进行下采样，即只保留的偶数点，形成长度为的高频分量，则原向量编码为两个的分向量与。代表原向量的高频成分，表示原向量的低频近似。由于采样函数对应的傅里叶变换为：
（4-141）
所以，下采样的过程在频域相当于与做卷积，即：
(4-142)
(4-143)
其中，与分别为、的频谱，、为、保留奇数零点的频谱。要想从、恢复原信号，首先将、通过加奇数零点扩充为长度向量，其对应频谱如式（4-142）、