初中数学竞赛标准教程及练习25：十进制的记数法.doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习(25)
十进制的记数法
一、内容提要
1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：
100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，
102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
2. 十进制的n位数(n为正整数)， 记作：
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0<a1≤9，其它是0≤a1,a2,a3…an≤9
3. 各位上的数字相同的正整数记法：
例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴＝10n-1
＝，＝，＝
4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
二、例题
例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x＋1，　　　
　根据题意，得　10x＋1＝3（1×105＋x）　　7x=299999 x=42857
∴原六位数是142857
例2. 设n为正整数，计算×＋1
解：原数＝（10　n –1）×（10　n –1）+1×10n+10n－1
　　　　＝102n－2×10n+1+10n+10n－1
　　　　＝102n
例3. 试证明12，1122，111222，……，这些数都是两个相邻的正整数的积

证明：12＝3×4，　1122＝33×34，111222＝333×334
注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1）
由经验归纳法，得
＝×10n+
＝（＋）
＝（
上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积
例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。
证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得
　a+b+c+d=9k (k为正整数)，∴d=9k－a －b－c,代入原四位数，得
103a+102b+10c＋9k－a －b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k
=9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整数，
∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
推广到n位正整数：　n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　代入（1）得
原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1　
＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k
∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示，，…9
∴原数＝9（a1＋a2＋…＋an+k）
∴这个n位正整数必能被9整除
例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。
求：这个三位数。

解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0＜a≤9, 0≤b,c≤9
＝9a＋b＋且－8 ≤a-b+c≤18
∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。
① 当a-b+c＝11时，商是9a+b+1,
根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9,
b=a+c-11=-1不合题意
② 当a-b+c＝0时，商是9a+b
, 9a+b= a+b+c且a-b+c＝11
解得　　　　答这个数是198
例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。
解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数
设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,
根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案
a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17
+) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位)
8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17
从百位上看c+b=8 (进入千位)
可知 c+b=17 (2)
(2)+(1)得 b-a=8
∵0<a≤9 0≤b≤9 ∴ b=9
∴a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986
三、练习25
1. 设a是个两位数，b是三位数。当a接在b的左边时，这个五位数应记作_____，当a接在b 的右边时，这个五位数应记作_____。
2. 有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。
3. 计算：1987×19861986－1986 ×19871987

4. 一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。
5. 试证明：11－2，　1111－22，　－，各数都能写成某个正整数的平方。（即证明各数都是完全平方数）
6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。求符合条件的所有两位数。
7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有×6＝
求原六位数
8. 已知四位数除以9得四位数，求原四位数。
9. 一个五位正奇数x，将x中的所有2都　换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若x,y I满足等式：
y=2(x+1),那么x=________
10. 已知存在正整数n能使数被1987整除，
求证：p=能被1987整除
11. 一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。
12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三位数。
13. 求证：是一个合数。

练习25参考答案：
1.　1000a+b, 100b+a 2. 21,10 3. 0
4. 仿例1，这数是1014492753623188405797
5. 　　6.　21，42，63，84　　　　7.　142857
8.　9801　　　9.　29995　　　
10. 原数可化为（103n+9×102n+8×10n+7）
11. 550或803　　　　12.　429　
13.原数可化为：(101990-1)=(10995+1)(10995-1)