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Ch5静定平面桁架
§5.1桁架及组成
一.桁架的几点假设
（1）各结点都是光滑无摩擦的铰结点
（2）各杆轴均为直线，并通过铰中心
（3）荷载都作用于结点上，各杆均为二力杆
二.桁架的组成及分类
（1）简单桁架：由一个铰接三角形出发，接连添加二元体构成内部几何不变体
（2）联合桁架：由两（或几）个简单桁架按两刚片或三刚片连接规则组成几何不变体，再与基础联系。
（3）复杂桁架很难用两刚片或三刚片连接规律加以分析.
§5.2桁架内力的数值解法
对斜杆ij可求出某一分量，再求另一分量或轴力
N
N
ly
lx
l
j
i

一.结点法
零力杆

N2
N1
N1
N2
N3
N4
N1=N2
N3=N4
N1=-N2
特殊平衡

例1 求图示各杆的内力
⑧
⑦
⑥
⑤
④
③
②
①A
F
E
2m
3m
4m
4m
P
P
D
C
B
A
1.自由度
2.几何组成（如图）
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ

3.判断零力杆
N8
P
N8
N7
D

4.结点D

其中 因此
N7
N3
E
P
P

P
N1

5.结点E

N1
N1
N8
N6
N4

6.结点F

例2 试用结点法求例图2(a)所示桁架的各杆内力。
解 1．求支座反力
由于无水平外力作用，故水平反力。可由对称性判断
2．求内力
由对称性判断
结点C(图(b))
由比例关系 (压力)，

结点F（图（c））
结点A（图（d））
由比例关系

结点G（图（e）），由比例关系

3．校核。结点J（图（f））
结点J满足平衡条件，故知计算正确。
讨论：本例为简单衍架，按照结点法求内力的特点，先从两未知力结点开始并逆桁架组成次序截取结点。为了简化计算，遵循了先判断零杆、后计算的原则。

二.截面法
1简单截面法：一个截面截断任三根杆件
2特殊的截断三根以上的杆件
3两刚片构成的桁架
4三刚片构成的桁架（分别用两个截面联立求解，或采用三铰拱的方法）

例3 试求例图3(a)所示桁架指定杆件的内力。
解 本例为联合桁架，每个结点至少有三个未知力，宜用截面法求解
1． 求支座反力

由整体平衡条件求得
2． 求内力
Ⅰ—Ⅰ左（[图(b)] (压力)
Ⅱ—Ⅱ左（图(c)）
Ⅲ—Ⅲ左 (图(d))
由比例关系 (压力)
例4 试求例图4(a)所示桁架指定杆件的内力。
解 本例为联合桁架，属于三刚片结构、不能由整体平衡条件求得全部反力。宜联合应用结点法和截面法求所需反力和指定杆件内力。
1．求水平反力
由整体平衡条件 得
2．求内力
结点B
I—I左(图(b)) 得故

讨论
在截面I—I以左的隔离体上，包含三个未知力：。其中为两平行力。选择垂直于的投影轴，建立独立的投影方程，求得和后，则易求解和。
例5试求例图5（a）所示桁架指定杆件的内力
解 本例为联合桁架．由铰E、虚铰和联结基础和两个简单桁架形成，属于三刚片结构。
1．求反力及
Ⅰ—Ⅰ以上（图(b)）将轴力平移至
（1）
Ⅱ—Ⅱ以上（图(C)）将轴力平移至F
（2）
联立求解式（1）、（2）得：
2．求轴力
Ⅱ—Ⅱ以右

Ⅲ—Ⅲ以右（图略）
由比例关系得
讨论： 计算本例的关键问题是先求出反力和在刚片之间起约束作用的杆件BI的内力分量，由此可顺列求得其余杆件内力。
例6 试求例图6(a)所示桁架指定杆件内力。

解 本例为联合杵架，属于主从结构。ABDEFG为基本部分，JHC为附属部分，判断零杆示于图中。
1．求和
附局部分JHC(图(b))
2．求
Ⅱ-Ⅱ以上(图(c))
Ⅲ-Ⅲ以左(图(d))
例7 试求例图7(a)所示桁架指定杆件内力
解 本例为联合桁架，为三刚片结构。如用结点法求内力，则任取一个结点都包含三个未知力，若用截面法，则任作一般截面都截到四根杆件，无法直接求得和。现作闭合截面I—I，则所截四根杆件中，除之外，其余三杆均交于结点C(图(b))：
，Ⅱ-Ⅱ以上(图(c))

结点D（图（d））
结点E（图（e））
讨论 本例通过选取闭合截面I—I先求得辅助杆GE的内力分量，然后据此求得指定杆件的内力。在有些情况下，选取闭合截面可直接求得指定杆件内力。
例2—21 试利用对称性求例图2—21(a)所示桁架指定杆件的内力。

解：将荷载分解为正对称与反对称两组（图（b）、（c）），分别计算正对称与反对称情况下的杆件内力，然后叠加。
1．正对称情况
荷载为正对称时，位于对称轴位置的四杆无荷载K形结点上
结点A(图d)
结点D(因e)
2．反对称情况
荷载为反对称时，与对称轴成正交的杆件内力
结点D(图f)
将和代人上式，则有
联立求解得
结点E(图g)
3． 求最终内力
讨论
1．在对称荷载作用下，位置对称的杆件内力同号、等值、据此判断。
2．在反对称荷载作用下，位置对称的杆件内力异号、等值，据此判断与对称轴重合或正交的杆件为零杆，所以。
例2—22 试计算例图2—22(a)所示组合结构，作弯矩图

解：1.求支座反力。由整体平衡条件求得
2．求CD杆轴力和铰F的约束力
Ⅰ-Ⅰ右（图（b））
3．求杆端弯矩，作M图。求得
根据各杆的杆端弯矩按结点平衡条件和叠加法作M图,如图（c）所示。
讨论：求解本例需分清链杆和梁式杆。轴力不可以由结点D按结点法求得。
例2—23试求例图2—23(a)所示组合结构的支座反力、C铰约束力及轴力杆ED，DF的内力。
解 本例组合结构为三刚片结构，可按不同途径求解。
1．先求和
整体(图(a))
I—I以上(图(b))（1）
CHB(图c)) 。将代入得（2）
联立求解式(1)、式(2)，得

结点D
2．先求
整体（图（a））
CHB（图（c））(1)
CGA（图（d））(2)
联立求解（1）、（2）得：
CHB（图（c））

讨论
本例的两种计算途径具有的共同特点是，根据计算目标，选取相应的隔离体，建立只包含两个未知力的联立方程和只含一个未知力的独立方程，计算较为简捷。
求解此类结构的支座反力，均宜以简捷为原则，先作分析，确定欲先求出的计算目标和相应的隔离体。
例2—24 试求例图z—34(a)所示组合结构中各链杆的轴力，井作受弯杆件的弯矩图

解 本例为主从结构。柱CG为基本部分，折杆AD和BF为附属部分。计算顺序为CG
1．求支座反力和链杆轴力
BF(图(b))
结点E(图略)
AD(图(c))

由于基本部分为悬臂杆，所以不需要计算支座反力。
2．作弯矩图
求出各杆杆端弯短后，作弯矩图如图(d)所示。
例2—25 试作例图2—25(a)所示结构的弯矩图，求轴力

解 本例组合结构内部按三刚片规则组成。将折杆AFE和BGE视为两等效链杆，则刚片DE，AC，CB之间由互不平行的两对平行链扦相联。由于两虚铰为无穷远，所以，不能按通常求三刚片结构支座反力的方法求内部约束力。
1．求支座反力，由整体平衡条件，求得
2．求轴力和控制截面剪力
结点D(图(b)) （1）
I—I 以下(图(c))（2）
AC(图(d)) （3）
联立求解（1）、（2）、（3），得
结点A（图略）
AE（图c）
AEB（图略）
3．绘M图。控制截面弯矩值
按结点力矩平衡和叠加法作M图如图（f）所示
例2—26 试作例图2—26(a)所示结构的弯矩图。
解 本例组合结构内部为主从结构。AEGCD(或(CHFDB)为基本部分。CHFDB(或AEGCD)为附属部分。
1．求支座反力
由整体平衡条件，求得
2．求约束力和连杆轴力。CHFDB（图（c））

CHF（图（d））

将约束力反力作用于基本部分（图（b）），取出CGE（图（e）），由

3．作M图，由已求的约束力，可求得控制截面弯矩
作M图如（f）所示
讨论 本例铰C和铰D为复铰，各联结三个截面。取隔离体时须注意在截开断面处正确示出内力，不能和其他杆端的内力混淆。例如，在图(c)和图(d)中未截取CD杆，所以应在截面示出的是，而不是。
Ⅱ
Ⅰ
ⅠPⅠⅠ
P
122
11
9
10
2
1
A
C
B
3
4
5
6
7
8
4a
a
P
Ⅱ
例2 求1，6杆内力
Ⅰ‐Ⅰ截面

整体
VB
P
VA
N1
N10
N2
N11
N6

由Ⅱ-Ⅱ截面

2
1
2m①
②
①
33m
52m
P
P
P
HA
HB
Ⅱ
③
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
D
C
B
A

例3 求1，2，3杆的内力
由Ⅰ-Ⅰ截面，取左段 取右段
整体
由Ⅱ-Ⅱ截面，取右段（略图）

A
N2
N4
N3
O2
O1
4a
3a
4
A
3
2
1
Ⅱ
Ⅰ
ⅠⅡ
63a

例4 求桁架中1，2，3杆的内力
由Ⅰ-Ⅰ截面，取左部

由Ⅱ-Ⅱ截面，取右部

联立求解前几式

由Ⅰ-Ⅰ截面，取左部
①
31m
22m
P
D
C
B
A

由A节点
例5 求1杆的内力
设
由对称性
=0
P
P
P
-P
-P
-P
0
0
0
0
0
0
P
由A节点=0
例6 确定所有零力杆
（共6根）

y
S11
S8
S6
S1
P
P
P
P
P
P
Ⅰ
Ⅰ
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
a
a
a
a
例7 求各杆内力
由Ⅰ-Ⅰ截面取右部，

例8 求桁架中1，2，3杆的内力
设2杆的内力为x，则标出桁架上相应的内力
由Ⅰ-Ⅰ截面取上部

S3
S1
P
D
x
S1
x
x
C
D
C
B
A
Ⅰ0
0
0
0
0
-x
-x
-x
x
x
x
x
x
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
N1
N1
P
Ⅰ0
C节点

D节点

对称性的利用
利用对称性和反对称性的性质可将复杂的桁架计算简化
P/4
P/4
P
G
B
A
O
ⅡP
ⅡP
ⅠP
ⅠP
P
P
P/2
P/2
P/2
P/2
P
P
2
1
a
a
a
a
a
a
2P
P
例9 利用对称性和反对称性的性质求桁架中1，2杆的内力

a． 对称荷载
由Ⅰ-Ⅰ截面取左边对O取矩
b．反对称荷载，B约束为零
由Ⅰ-Ⅰ截面取左边对A取矩

由Ⅰ-Ⅰ截面取右边对G取矩
因此
PA1
PA1
C1
EⅠA1
0A1
ⅠA1
ⅠA1
D1
B1
A1
例10 求出桁架的支反力和
Ⅰ-Ⅰ取左下部分

整体
§5.3 各式桁架的比较
一.梁式桁架
1.抛物线形：上弦各结点位于对称的二次抛物线上，上下弦杆的水平分力各大小相等，各斜杆（及竖杆）内力均为零。
特点：弦杆内力分布均匀，用料经济，但上弦结点构造各异，施工麻烦，适宜于较大跨度的结构上采用。
2.三角形：各杆受力很不均匀，且端结点构造困难，但因适于双坡排水，故常用于较小跨度的屋盖中。
3.平行弦桁架：内力分布不均匀，但可采用较少规格的杆件与结点，利于标准化，对于各类跨度的结构仍是经济的。
4.其它桁架（折弦桁架，梯形桁架等）。
二.拱式桁架
可用于跨度较大的结构，但实际工程结构中静定的拱式桁架较少采用。主要有三铰拱式桁架，链式下承桁架，链式上承桁架。后两种的拱链结点都落在二次抛物线上。

§5.4组合结构的内力计算
组合结构的组成：两类杆件（1）梁式杆（2）二力杆（链杆）
加劲梁
悬索
下撑式三铰屋架
悬吊式桥梁
计算图形

组合结构中的链杆使梁式杆的支点间距减小或产生负向弯距，改善了受弯杆的工作状态。
注意两点：（1）联系着上述两类杆件的结点与桁架结点应予区别。
（2）由截面截断受弯杆件时，将露出三个未知力，因此应尽量使截面通过受弯杆的端铰。
计算方法——截面法，结点法。
MDA
MDB
QDA
QDB
NDA
NDB
NCD
NCB
NCD
NCB
M
Q
N
P
P
D
B
C
D
C
B
A

（1） 区分截断杆性质（梁式杆）（二力杆）
（2） 区分铰结点（完全铰结点，不完全铰结点）
（3） 计算步骤：先链杆后梁式杆

N1

M

4.5kNm
-6kN
-3kN
3kN
Ⅰ
43m
Ⅰ
Ⅰ
1kN/m
E
G
C
C
D
D
F
F
B
A
A
3mⅠ
N
Q
例1 作组合屋梁的内力图
1．计算约束反力
2．由Ⅰ-Ⅰ截面取一半

由D结点
1． 梁式杆内力

N1

D
NDF
NDA
NDC
C
D

2m
2m
6m
6m
G
F
E
D
C
B
A
3m
例2 求图示结构各杆轴力和受弯构件的弯矩图
本结构对称，由对称性，铰C处的剪力为零。

例3 求组合结构各链杆的轴力，作出受弯构件的弯矩图

100
46.67
46.67
q=20kN/m
3m
3m
4m
2m
P=20kN

140kNm
30
30
93.33
46.67
46.67
HC
NDB
VC
q
P
40kNm
40

§5.5约束代替法
对一些无法用两刚片或三刚片组成规则构成的静定结构，适用于约束代替法。
a
a
a
a
a
a
C
2
1
2P
P
A
B
思路：在原体系上撤去某个或某些约束，代之以相应的约束未知力X，将这些约束添加到该结构的另外位置上，从而形成一个简单的体系，这些添加进去的约束称为代替约束。

S—代替约束内力
S1X1—被撤约束力X1引起的代替约束内力
S0—由原荷载引起的代替约束的内力
例1求图示杆1，2的内力
D
ⅡⅠ
ⅡⅠ
Ⅰ
Ⅰ
4
4
1
1
E1
E1
G1
G1
G
G
E
E
0
0
0
0
0
A
2P
P
C
B
A
C
B
解法一:（a）杆件替换
将C处支撑去掉，在G点加一支撑
(b)外荷载作用在代替结构

由E1结点

由B结点

（c）单位荷载作用代替结构
由Ⅰ-Ⅰ截面取右

由D结点
整体
Ⅱ-Ⅱ
(d)消除替代杆内力
(e)计算1，2杆内力
X1
C
2
1
2P
P
A
B

解法二：（a）杆件替换
(b)外荷载作用在代替结构
先求出A和C端的约束反力（如图）
由Ⅰ-Ⅰ截面取左部

D

D

C
2
1
2P
P
A

X1=1
C
2
1
A
B

2
1
P
B

（c）单位荷载作用代替结构
由Ⅰ-Ⅰ截面取左部

(d)消除替代杆内力

(e)计算1，2杆内力

B
1
P
D
C
A
例2 用约束代替法求1杆的内力
1． 杆件替换
2． 荷载作用下替换杆的内力
由Ⅰ-Ⅰ
3． 单位荷载作用下的替换结构

4． 由代替约束内力为零

5.1杆内力

（图中尺寸未注）

-
-
-
-10
1
1
1
1
1
1
1
-10
0
1
0
P

0
0
0
0
0
0
Ⅰ
Ⅰ
P
D
C
B
A

P
2a
1
1
5a
5a
例3用约束代替法求1杆的内力
1． 杆件替换
2． 荷载作用下替换杆的内力

由Ⅰ-Ⅰ截面

3． 单位荷载作用下的替换结构

4． 由代替杆件内力为零

5.1杆内力

§5.6零载法判别复杂体系的几何组成属性
检验瞬变桁架的零载法
当桁架是静定而且是几何不变时，在一组确定的荷载作用下，桁架内力只有唯一的一组确定的解答。反之，如果在一组确定的荷载作用下，桁架内力的解答可以不只一组时，则桁架必为瞬变体系。
零载法：假设一组数值为零的荷载作用在桁架上，如桁架是静定且几何不变的，则桁架各杆内力必为零，而且是唯一的零解。反之，若桁架杆件的内力不为零也能满足平衡条件，说明零解并非唯一解答，此桁架必为瞬变体系。
用零载法检验桁架是否瞬变时，常用反证法。先假设桁架的荷载为零，然后假定桁架中某一杆件的内力为不等于零的某一任意数值，检查桁架各结点是否满足平衡条件，若能满足，表明桁架还存在非零碎解，桁架为瞬变体系，若任意内力不能满足平衡条件，则表示零解是桁架的唯一解答，桁架体系是几何不变的。
例 1检验图示平面桁架是否几何不变，已知ABCD为矩形，E、F、G、H为各边中点。

H
G
F
E
D
CN1
B
A
第1题
1计算桁架自由度

2假设桁架上荷载为零
用反证法，假设某杆内力不为零，现设支座B的内力为
由对称性EF、FG、GH、HE杆内力均为零。
（因为NEF=NGH=-NFG=-NHE又NEF=NGH=NFG=NHE）
由B结点
同理
可见各结点均能满足平衡条件，因为是任意数值，即为任何值时，各结点都保持平衡，因此此桁架是瞬变体系。
例2 用零载法判别图示结构是否几何不变。
2． 自由度
3． 设支杆为，1、2、3、4均为零力杆，5、6、7、8、9也为零力杆
由A得 ， 由B显然不平衡，因此
此体系为几何不变体系。
例3 用零载法判别图示结构是否几何不变
1．自由度
2．上面所有杆均为零力杆，只有下弦杆不为零力杆，但它们在一直线上，在任何内力作用下均为平衡，故为瞬变体系。
第2题
x
α
α
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
第3题

例4 用零载法判别图示结构是否几何不变
1．自由度
2．设某杆为，A自动满足平衡条件，为瞬变体系。

1
?
?
N1
N1
N1

N
N
N1
A

1
1
1

1
1
1

第4题
第5题

例5 用零载法判别图示结构是否几何不变
1．自由度
2．设AB杆的内力为，由对称性得
最后得出？杆矛盾，几何不变。
例6 用零载法判别图示结构是否几何不变
1．自由度
2．设轴力和
由A，B两结点
由结点C得
由D，E两结点
由结点F得
故为几何不变。
例7 用零载法判别图示结构是否几何不变
1．自由度
2．对任何结点都平衡，故为瞬变系统。

2a
2a
2a
a
a

2a

2a
F
E
D
C
B
A
2a
2a
a
a
a
2a
2a
第6题
第7题