初中数学教学.doc

《平方差公式》

教学案例设计--反思

学校
湖北文理学院附属中学
案例名称
平方差公式
教师姓名
伍雄祎
案例类型
新授课
学段
初中
教学/活动目标
1、知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行运算．
2、过程与方法：在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和归纳能力、推理能力．在计算的过程中发现规律，掌握平方差公式的结构特征，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美．
3、情感、态度与价值观：通过生活中人与人之间需要诚信问题，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索，有意识地培养学生的合作意识与创新能力．
学习者分析
学生是在学习积的乘方和多项式乘多项式后学习平方差公式的，但在进行积的乘方的运算时，底数是数与几个字母的积时，往往把括号漏掉，在进行多项式乘法运算时，常常会出现写错某些次数、符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛理解，当公式中a、b是负数、单项式、多项式时，要添加括号后再平方。 
教学/活动过程
教学过程设计 
（一）创设情境，引出课题
老王想在某开发商处预定一套边长为x米的正方形户型，开发商客气地对老王说：“ 你想定的这种户型结构不好，我给你推荐一个长方形的户型，比正方形的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，而且比你预定的房子总价还会便宜，你看如何？”老王一听觉得还不错，就答应了。你认为会更便宜吗？
【设计意图】通过这一实际生活例子的引入，意在让学生感知生活中的诚信问题，也是让学生学习数学，来验证学好数学的重要性。 
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 
（1）(x+1)(x-1)=         ； 
（2）（m+2）（m-2）=         ； 
（3）（2x+1）（2x-1）=         ． 
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．
 （二）数形结合，几何说理 
问题2：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系． 

【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：，验证了其公式的正确性．
（三）探索新知，尝试发现 
问题3：观察回答下列问题： 
     ①式子的左边具有什么共同特征？ 
     ②它们的结果有什么特征？
     ③能不能用语言表示这一公式？ 
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，从而得出：． 
【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理． 

（四）总结归纳，发现新知 
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力． 
（五）剖析公式，发现本质 
在平方差公式中，其结构特征为： 
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即； 
②选择练习，让学生找出哪些能用公式，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式． 
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（六）巩固运用，内化新知 
问题5：例1 运用平方差公式计算：⑴ (3x+2)(3x-2) （2）（b+2a）（2a－b）；(3) (-x+2y)(-x-2y). 
解：（1）（3x + 2）（3x –2）=（3x）2－22  = 9x 2－4

   （2）（b+2a）（2a－b）  =（2a）2－b2
       =4a2－b2 
（3）略 
【设计意图】解决操作层面问题，规范公式的准确运用，可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性． 
问题6：判断下列计算是否正确：
(1)(x+2)(x-2)=x2- 2（       ）
 （2）(-3a-2)(3a-2) = 9a2 - 4
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件． 
（七）拓展深化，发展思维 
　　问题8：小试牛刀，计算： 
（1）98×102；   （2）．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
问题9：1、灵活运用平方差公式计算： 
 （1）(x+y) (x-y) (x2+y2);

（4）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2)
2、挑战极限练习
【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，通过学生上台演板，暴露问题，并师生评析，从而解决。
（八） 总结概括，自我评价
1、了解平方差公式的特点：
2、运用平方差公式的关键。  
【设计意图】从知识和运用两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识． 
3、课后作业： 
必做题：P112习题14.2  第 1题 
选做题：
1、你能根据例题计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (2128+1) 的结果吗？
2、你能根据上题再一次计算:
(6+1)(62+1)(64+1)(68+1) … (6128+1) 的结果吗？ 
【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展． 
教学/活动反思
《平方差公式》是一节公式定理课，是各位老师非常熟悉的一个课题，要想上好这节课，我深深感到一种压力。但是，无论如何，我始终坚持以“新”、“实”为目标，努力完成本节课的目标。
1、把数学问题“蕴藏”在现实生活与活动中。
导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，首先我结合当前好的国家形式，老百姓买房问题，设置情境，引起学生兴趣，让学生体会数学来源于生活，学好数学将服务于生活。接着探索规律，从而得出平方差公式。在课堂上，学生先从数学代数的角度，再从图形的拼接等来验证了平方差公式，由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出(a+b)(a-b)=a2-b2.通过这个活动，让学生从“数”与“形”的角度来认识、理解平方差公式的成立。
2、充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用。
把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体。使他们在活动中进行规律的总结，并且通过交流练习、应用，深化了对规律的理解。学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的。新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华。在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧。
3. 题型设计有梯度，形式多样，从不同角度提升对知识的掌握
本节课为了巩固平方差公式，设计了例题、判断题、选择题
填空题、练习题、变式题及挑战极限等，从不同角度提升学生对知识的掌握，目的有二（1）继续巩固新学的平方差公式；（2）最后一个挑战极限小题让学生在认知冲突中能更加深刻地认识能够应用平方差公式的特点是：一项相同，另一项互为相反数；给他们的空间很大，更具挑战性，学生的兴趣是学习数学的动力，自己要时刻总结这方面的经验。
值得注意的是：
1、节奏的把握上
这一节我觉得不是很顺，尤其在从几何角度解释平方差公式、例2后面的练习问题上，花了不少时间，节奏把握的不是很好。
2、充分发挥学生的主体地位上
这节课上，我觉得学生的积极性不是很高，让学生一起口述多项式乘法法则，并齐读小结，学生在探求新知识上，老师参与太多，学生自主学习不够，自己想象的比现实的好。
3、切实落在实效上
这节课的几个活动完后，老师让学生上台板演，暴露出了学生自己的问题，应该大胆的通过生生互动、师生互动解决问题。