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直线的法向量在线性规划中的应用

线性规划是高考考察的热点，近几年都有题目出现。传统的方法是依据代入特殊点的坐标来判定两元一次不等式所表示的区域，从而确定线性约束条件所表示的可行域，然后应用目标函数在y轴上的截距解决目标函数的最值问题。传统方法有其优点，也有其缺点，如学生代入点的坐标时，易造成题面得不等式结果与不等式所表示的区域弄混淆，在判定目标函数的最值是弄不清怎样移动目标函数所表示的直线。
下面我们从向量的角度来解决线性规划问题。我们知道直线Ax+By+C=0的法向量为（A, B），其特征是在平面坐标系中与直线本身相互垂直，应用直线的法向量我们可以得到以下两个结论：
⒈直线Ax+By+C=0的法向量为（A, B）在平面直角坐标系中，我们一般以坐标原点O为起点作出法向量，依据向量可以在平面内自由平移，我们可以把法向量的起点平移到直线Ax+By+C=0任意一点上，那么法向量所指的方向（直线Ax+By+C=0的一侧）就是不等式Ax+By+C﹥0所表示的区域，反之与法向量所指相反的方向（直线Ax+By+C=0的另一侧）就是不等式Ax+By+C﹤0所表示的区域。这种方法给出的不等式形式如何变化，我们只要从不等式整理出直线方程的“一般式”（x的系数可正可负）即可。例如在平面直角坐标系中做出不等式－x—3y—18所表示的区域，我们可以现整理出不等式－x +3y +180，然后作出直线－x +3y +18=0，再以原点为起点作出其法向量（－1，3），然后平移法向量的起点至直线－x +3y +18=0上，那么法向量所指的左上方（包含边界）就是不等式－x—3y—18所表示的区域，而直线的右下方（与法向量所指的相反的方向）就是不等式－x—3y—18所表示的区域，如图（1）。当然我们也可以现整理出不等式x －3y－18，然后作出直线x －3y－18=0，再以原点为起点作出其法向量（1，-3），然后平移法向量的起点至直线x －3y－18=0上，那么法向量所指的右下方（包含边界）就是不等式x －3y－180所表示的区域，即－x +3y +18的区域，而与法向量所指相反方向的左上方（包含边界）就是不等式x －3y－180所表示的区域，即不等式－x—3y—18所表示的区域，如图（2）。

－x +3y +18=0
（－1，3）
（1，-3）
－x—3y—18
－x—3y—18
－x +3y +180
x －3y－180
图（ 2 ）
x －3y－18=0
图（ 1 ）

图（1）

⒉在平面直角坐标系中直线Ax+By+C=0按其法向量所指的方向平移，则式子Ax+By+C的值逐渐增大，按与其法向量所指的方向相反的方向平移，则式子Ax+By+C的值逐渐增小，由这个性质可以求出在线性规划中目标函数z=ax+by+c的最值，我们可以平面直角坐标系中做出直线ax+by=0(称为基准直线)，然后作出法向量（a，b）然后向可行域平移基准直线（或者移出可行域），若平移的方向与法向量（a，b）所指的方向相同，则ax+by的值逐渐增大，若平移的方向与法向量（a，b）所指的方向相反，则ax+by的值逐渐变小。
注意以上两个结论不予证明，可以在线性规划中直接应用。下面我们运用上面两个结论来处理一些线性规划题目。
例(2008年，全国卷I 13题) 若x，y满足约束条件
x + y
x – y +3
0

则求z=2x –y的最大值？（原为填空题）
解析；先做出可行域
1， 作出x +y所表示的区域，作出直线x + y=0，其法向量为（1，1），所以直线的右上方(含边界)就是x +y所表示的区域；
2，
3， 作出x – y +3所表示的区域，作出直线x – y +3=0，其法向量（1，-1），所以直线的左下方(含边界)就是x – y +3所表示的区域；
如图 （3） 作出可行域；
x – y +3=0
2x –y=0
x + y=0
（3，-3）
图（3）

作出基准直线2x –y=0，其法向量（2，-1），当直线按其法向量平移逐渐移出可行域，z的值逐渐增大，即过点（3，-3）时 ，z有最大值z=2×3 –(-3)= 9
向量是数学的一个新的数学工具，在此课题线性规划中，它可以化繁为简，很快的作出不等式所表示的区域和线性约束条件所表示的可行域，而且也可以找到最优解，从而可以在考试中快速解决线性规划问题。

直线的法向量在线性规划中的应用

姓名：连如刚
学科：数学
工作单位：禹州市五高