从勾股定理到图形面积关系的拓展.doc

《从勾股定理到图形面积拓展学案》
寺后初中 徐瑞
一.知识回顾
1.在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作正方形，如图所示，则s1,s2,s3有什么数量关系？

二、小试牛刀
1、如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.面积记为s1,s2,s3 ，已知s1=4π,s2=2.25π，求s3

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是9、25、4、9，则最大正方形E的面积是 （ ）
A、13 B、26 C、47 D、94
3、如图，阴影正方形部分的面积是
4、如图，直线l上有三个正方形，面积分别为a,b,c,若a=5,c=11，则b为（　　）
A．5 B．6　 C．16 D．55
5.在直线l上依次摆放着七个正方形(如下图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（ ）
A 4 B 5 C 6 D 14
三、拓展
1.如图如果以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外分别作正三角形，那么是否存在s1+s2=s3呢？

2.如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为直径，向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成立吗？

3.结论：其实，在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展。例如，《原本》第六卷曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。”
四、拓展应用
1.如图所示，sⅠ，sⅡ，sⅢ之间有什么数量关系？

应用：如图，已知△ABC的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。

2.如图，已知在Rt△ABC中， ∠ ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于
3. 四边形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1＋S3＝4S2，则CD＝(　　)
A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB

第2题图 第3题图 第4题图
五、课外探究
已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为直角边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为 ．

变式：已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为斜边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为 ．