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初中数学教学中“动点问题”的有关分析徐松龄(江苏省南通市海门区实验初级中学 2 2 6 0 0 0)【摘要】初中数学动点问题是数学教学中的一个重要内容,它涉及运动变化的概念和方法,在中考考卷中极易以生活化试题的形态出现,学生容易在多种知识点杂糅的题干中产生迷失感,因此在教学中,教师应该引导学生从运动变化的角度理解数学概念,培养学生的思维能力和解决问题的能力,提高学生的数学综合能力.【关键词】初中数学;课堂教学;动点问题初中数学动点问题是数学教学中的一个重要内容,具有较高的难度和挑战性,需要学生具备扎实的数学基础和综合运用知识的能力.教师应该通过多种方式来教授这个内容,帮助学生理解运动变化的概念,引导学生总结解决动点问题的方法和技巧,如分析问题、划归为一般形式、利用图形性质等,帮助学生掌握解决问题的方法和技巧,提高数学思维能力和解决问题的能力.1 动点问题的综述1.1 动点问题的内涵动点问题也称为几何动态题,是指在题设图形中存在一个或多个在线段、直线上运动的点的一类开放性题目,此类题目需要探求动点在运动过程中的几何图形变化规律,灵活性较强.解决动点问题的一般性思路是“动中取静”,将一切动点问题全部静点化,将点在运动过程中产生的等量关系、函数关系、比例关系等以规律性公式揭示出来,达到运用有关数学知识将问题解决的目的.1.2 动点问题的特点动点问题在初中数学教学中,是一个特点较为鲜明的大类题型,具体特点如下:(1)题型繁多.就其表现形态来看,至少可分为穿越型、定点型、极限型、几何计算型、行程型几个类别,在各个类别当中还存在大量的命题创新空间,尤其是穿越问题和行程问题最近在中考题型中大量融合生活化趋势,给学生带来了不小的解题压力,对学生的数学基础、思维方法和解题思路都提出了种种挑战;(2)涉及跨学科知识.动点问题不仅考查数学基础知识,还会涉及物理、化学、生物等多学科知识,学生需要利用一定的数学思维能力、综合运用能力多角度分析问题、找到关键信息和解决方法,所需思维量极大;(3)与生活实践相结合.这是近年来中考题型中最常见的变化题型,不仅具有动点问题一贯的抽象性,还结合了极强的灵活性和创新性,从考生访谈中不难发现,凡是曾经参与过、解决过实践题型的考生均反映此种题型不难解答,而对实践题型参与较少或未参与过的学生,则表示在分析问题和寻找解题思路上花费了相对较多的时间,由此可见,动点问题未来的一个发展趋势就是将数学知识应用到实际问题中,从而演化出更为结合实际生活的试题.1.3 动点问题的表现形态初中数学动点问题在试题中一般以几何图像为题干,以特定方向、特定范围运动的动点为核心组织题型,一般有如下表现形态:(1)穿越型试题.此类试题通常会给出一个带有参数的三角形、矩形、梯形等几何图形,要求求出从图形中穿过的未知数,例如,计算从点A到点C的直线距离;(2)定点型试题.此类试题通常会给出一个物理模型或几何模型,要求求出物体在该模型中的位置或某些物理量的值;(3)极限型试题.此类试题通常会给出一个变化趋势明显的二次函数图像,要求计算该函数图像中某一点上的极限值或某些极限性质;(4)几何计算试题.这类问题通常会给出一个平面或空间的图形,要求计算图形中某些几何量的值;(5)行程试题.此类试题通常会给出一个表示路程或位移的数学表达式,要求计算从起点到终点的实际路程中某一点上的速度、距离、时间等物理量.由此可见,初中数学的动点问题在题型表现方面相对复杂,外在表现多样化,对学生的理解能力和基础知识掌握程度、整合能力要求较高,是初中数学教学的一个较大难点.2 初中数学动点问题教学策略2.1 创设生活化问题的实践条件动点问题的题型无论是具象还是抽象、无论是21 数理天地 初中版基础精讲2 0 2 3年1 2月上代数问题还是几何问题,其本质都是来源于实际生活中的案例与素材,教师可以立足于实证科学的精神帮助学生增加对动点问题的体验感,例如通过一些具体的生活细节如行程问题、速度问题、相遇问题等,让学生通过贴近生活情境、亲自实践测试的方式掌握动点问题的解决方法,学生的学习兴趣被激发起来,学习效果也会相应提升.在实际践行问题解决方案时,教师要指导学生准备一些思想性、功能性的数学工具,例如描绘基本图形、线段图、示意图、缩放比例尺等,增强学生对动点问题的描述效果,在画草图、信息标注、图形特征等方面创造条件,使学生有条件将动点的运动方向、速度、运动时间等的相对关系、表现方式等以可视化形态做好实时记录,如此一来学生在实践中获得了解题思路、解后反思的自然过程,使得创设情境为学生的解题过程而服务,则学生的解题经验也得到相应提升,在遇到生活化题型的时候能够激发联想,捋顺题干中的有用信息及关联关系.2.2 探究动点内涵及逻辑关系由于动点问题往往涉及变量、时间、空间等多个因素,因此在初中学生动点问题的教学过程中,教师需要引导学生将关注点放在动点问题对应的因素上,引导学生观察动点的运动轨迹,理解运动变化的主要过程及内在规律,发现动点问题的具体特征,分清变量及不变量之间的对应关系.具体而言,由于动点题型的变化较多,因此教师可以先指导学生从理解问题背景入手,从动点问题相对复杂的背景和条件中,明确问题的目标和约束条件,对动点问题进行形象化处理,教师可以动员学生通过相关知识点及定理建立合适的数学模型公式,作为解决问题的支撑点,在数学工具和解题方法无误的基础上,有意识地引导学生将具体问题分解为若干子项问题,捋顺解题步骤,学生按照逻辑完成解题步骤之后,可以通过解后反思促进自身数学思维发展,起到加深印象的作用.2.3 培养解决问题的思维能力初中数学教师可以通过教授初中数学动点问题,培养学生解决问题的思维能力.动点问题的求解需要学生具备一定的数学思维,而这些数学思维的基础植根于动点问题中的变量和不变量的相对关系,学生的数学思维目标也通常集中于此,一旦学生考虑清楚了动点问题的性质和特点,发现了动点问题中时间和空间关系的变化规律之后,往往急于应用数学公式和方法,此时教师应注意学生的思维过程中是否尚存留一定盲区.许多学生往往在找到突破口之后,忽略了运动过程的复杂性,在逐步解决问题的过程中发现自己对变量的变化和影响因素的相互作用关系方面考虑得不够全面,只解决了局部问题而缺失几个关键步骤,导致大量的计算不得不暂时中止,重新分析过程,降低解题效率.因此教师一定要注意提醒学生在解题思维过程中明确完整、全面的解题思路.2.4 通过变式练习强化解题能力动点问题的求解过程不但要注重计算精度,避免因为计算误差导致结果不准确,而且要通过多种方式帮助学生理解运动变化的形态,为了起到加深印象、熟悉动点问题解决方式的效果,教师可以根据建立公式的适用条件和限制,适当地将动点问题改变表现形式、增加条件等,让学生的思路进一步打开,以提高学生解决问题的能力,全面掌握解决问题的方法和技巧.可以通过应用数学公式和方法入手,让学生在解题的每一个关键步骤基础上,建立相应的坐标系以描述点的运动状态,然后选择合适的公式和方法进行求解,起到举一反三的效果.3 动点问题例题分析3.1 双动点问题的例题解析双动点问题一般关注于复杂图形之中的最短路线问题,即考查学生在两点之间的线段及相关图形的知识、定理掌握程度,现有如下一道例题:例1 如 图1,四 边 形A B C D中,B AD=1 2 0,B=D=9 0,在B C、C D上分别找一点M、N,使AMN周长最小,则AMN+ANM的度数为().(A)1 2 0 .(B)1 2 5 .(C)1 3 0 .(D)1 3 5 .图1由于该题目是选择题,因此可以从图形直观上判断可应用三角形内角和定理及其相关知识缩小选择范围,降低解题难度.但在教学过程中则应要精312 0 2 3年1 2月上基础精讲 数理天地 初中版炼,要使学生们确定M、N的位置并熟练利用相关知识解决此类问题,激活学生的解题思维.本题应采用作图法直观地确定两点之间的位置关系,作点A关于B C和C D的对称点A,A,连接A A,交B C于M,交C D于N,则A A 即为AMN的周长最小值,此题的解题思路就此打开了,解题步骤如下:如图2,因为B AD=1 2 0,所以A A M+A=6 0,因为MA A=MA A,NAD=A,所以AMN=2A A M,ANM=2A,所以AMN+ANM=2(A A M+A)=26 0=1 2 0 .图2本题是双动点问题中比较有代表性的轴对称问题,需要围绕两点之间的轴对称性质创设解题思路,进而通过最直观简便的方法求出答案,如遇选择题型,可适当省略若干求解步骤,直接判断选项.3.2 单动点问题的例题解析单动点问题也常常围绕求最短距离问题创设题型,一般情况下,常常围绕轴对称、线段垂直平分线的性质等知识点进行考查,适宜从线段的性质、轴对称变换等数学知识作为突破口,采取作对称点的方式进行解题.此类问题一般不会出现在大题上,因此往往在作图过程中就比较容易分辨出正确选项.现有如下例题:例2 如图3,A B C中,A B=A C,B C=3,SA B C=6,ADB C于点D,E F是A B的垂直平分线,交A B于点E,交A C于点F,现要在E F上确定一点P,使P B+P D最小,则这个最小值为().(A)3.5.(B)4.(C)4.5.(D)5.本题题干内所提供的信息较为全面,关键条件垂直平分线AD已经提供,因此利用线段性质和轴对称知识点,直接解题:因为A B=A C,B C=3,SA B C=6,ADB C于点D,所以AD=4,因为E F垂直平分A B,图3所以点A、B关于直线E F对称,所以E F与AD的交点P即为所求,连接P B,此时P A=P B,P B+P D=P A+P D=AD,所以AD=P B+P D的最小值=4,本题选(B).图44 结语动点问题是初中数学中的一类重要问题,它涉及变量、时间、空间等多个因素,具有较高的综合性和复杂性.在初中数学教学中,教师应该注重培养学生的数学思维能力和分析能力,引导学生建立合适的数学模型,分析问题中变量的变化和影响因素的相互作用,应用数学公式和方法进行求解.通过教师的合理引导,使学生深刻地理解动点问题的本质和解决方法,让学生掌握数学知识的同时,更加深入地理解生活中的动点问题,最终提高数学综合素质和应用能力.参考文献:1钱德春,张杰.初中数学“动点路线问题”的教学实践与思考J.中学数学杂志,2 0 1 8(1 2):2 2-2 5.2徐美珍.初中动态几何教学与数学创造性思维的培养D.大连:辽宁师范大学,2 0 1 5.3 唐静,姜锐武.探究初中数学中动点问题的解法J.数学学习与研究,2 0 1 9(1 6):1 2 2.4田堃.习题课教学设计的出发点是什么 一类动点型习题课的3次教学设计J.上海教育科研,2 0 1 6(0 4):8 9-9 0.5陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析J.课程教育研究,2 0 1 8(0 6):1 4 3-1 4 4.41 数理天地 初中版例题精讲2 0 2 3年1 2月上