柯西不等式与其应用.doc

编号
2015010304
研究类型
理论研究
分类号
O17

湖北师范学院文理学院

本科毕业论文

论文题目
柯西不等式及其应用

作者姓名
邓丽芬
指导老师
严慧 讲师
所在院系
数学系
专业名称
数学与应用数学
完成时间
2015年5月21日

本科毕业论文诚信承诺书
中文题目： 柯西不等式及其应用
外文题目： The Cauchy Inequality and Application
学生姓名
邓丽芬
学生学号

院系专业
数学系 数学与应用数学
学生班级
1103班

学 生 承 诺
我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文内容除特别注明与引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。

学生（签名）：

年 月 日

指导教师承诺

我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明与引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。

指导教师（签名）：
年 月 日
目录
1.前言 1
2.柯西不等式的证明 1
2.1利用数学归纳法证明 2
2.2利用构造函数法证明 2
2.3利用二次型法证明 3
2.4利用线性相关法证明 3
2.5利用配方法证明 4
2.6利用初等方法证明 5
2.7利用向量内积证明 5
3.柯西不等式的不同形式 6
3.1柯西不等式在微积分中的形式 6
3.2柯西不等式在线性代数中的形式 6
3.3柯西不等式在概率论中的形式 7
3.4柯西不等式在泛函分析中的形式 7
4.柯西不等式的应用 7
4.1推导重要公式 8
4.2解释样本线性相关系数 9
4.3证明三角形不等式 11
4.4求最值问题 11
4.5在初等几何中的应用 13
5.柯西不等式的推广 14
5.1推广到复数 14
5.2赫尔德不等式 14
5.3闵可夫斯基不等式 15
参考文献 17

柯西不等式及其应用
邓丽芬(指导老师，严慧 讲师)
（湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002）
摘　要: 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地应用它可以使一些较为困难的问题迎刃而解.本文探讨了柯西不等式的七种证明方法及其推广，能够深入地理解它的本质.并给出了柯西不等式在微积分、线性代数、概率论、泛函分析中的另一内容与形式，充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性与统一性. 通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在推导公式、证明三角形不等式、求最值等方面的广泛应用.
关键词: 柯西不等式；赫尔德不等式；闵可夫斯基不等式
中图分类号:O17
The Cauchy Inequality and Application
Deng Lifen (Tutor：Yan Hui)
(College of Arts & Science of Hubei Normal University, Huangshi, 435002, China)
Abstract: Cauchy Inequality is a very important inequality, and it can make some relatively difficult problems simple if you can use it flexibly and ingeniously. This article analyzes seven kinds of methods to prove the Cauchy Inequality and its generalization, and you can understand the essence deeply. It gives another form and content of the Cauchy Inequality in calculus, linear algebra, probability theory, functional analysis, and fully be embodied the internal cause, the permeability and unity in the field of mathematics. According to a series of examples, it can reveal wide applications in various fields in using the Cauchy Inequality in the formula, proving of the triangle inequality and seeking the most value.
Keywords: Cauchy Inequality;Holder Inequality;Minkowski Inequality

湖北师范学院文理学院2015届本科毕业论文

柯西不等式及其应用
邓丽芬(指导老师，严慧 讲师)
（湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002）
1.前言
柯西不等式是柯西（Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，正是因为后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广知，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.
柯西不等式在初等数学、高等数学、微积分、概率论、线性代数等领域有广泛的应用.虽在不同的领域有着不同的形式与内容，但又统一于欧式空间两向量的内积运算中，是异于均值不等式的另一个重要的不等式.柯西不等式的证明有很多种方法，每个方法都有它自己的优点与缺点，要认真了解每种证明的条件与特点，理解其本质.柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人类思维的多样性、渗透性与完备性.认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富有创造性.
柯西不等式形式优美、结构巧妙，具有较强的应用性，深受人们喜爱.在形式上灵活巧妙地应用它，可以解决数学上的不等式证明、推到空间点到直线的距离公式、三角形相关问题求解、最值求解等很多问题.本文从柯西不等式的本质出发对其证明，探讨了柯西不等式的多种证明方法，研究了柯西不等式几种特殊的推广形式，并通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在代数、几何等各方面的广泛应用.
2.柯西不等式的证明
运用数学归纳法、构造函数法、二次型法、线性相关法、配方法，以及利用初等方法，向量内积来证明柯西不等式，让我们深入的了解其本质.证明柯西不等式有很多种方法，除了上述所说的方法外，还可以用比较法、参数法、引进记号法、利用均值不等式、拉格朗日恒等式等其他方法证明.
定理2.1（Cauchy不等式):设有两组实数及为任意实数，则不等式：
.
成立，当且仅当时取等号.
这定理在或时明显成立，所以在以下的证明中，不妨设中至少有一个不是零，中也至少有一个不是零.下面我们就用几种不同的方法来证明柯西不等式，理解其本质.
2.1利用数学归纳法证明
证 （1）当时，,不等式成立.
（2）假设时，不等式成立.
令，，，有；
那么当时，

综上所述，对,，均有
.
即柯西不等式得证.
2.2利用构造函数法证明[1]
证 设实变量的二次函数
，
由于对任意实数，总有，又的系数是正数，
于是
.
即
.
故柯西不等式得证.
2.3利用二次型法证明[6]
证 因为
，
所以，关于的二次型非负定.
因此
,
即
.
2.4利用线性相关法证明[8]
证 设为向量空间，若，则
（1）
成立.当且仅当向量与线性相关时，（1）式取等号.
（1）设与线性相关，则存在不全为零的实数,使，
由此有
或（其中），
将这两种形代入（1）式，都可得到（1）式取等号.
（2）若与线性无关，则对每一个，有.
即至少有一个，使于是
，
或.
因为，否则与线性相关与题设矛盾.
于是有不全为零且，所以可得到.
即
.
于是
.
2.5利用配方法证明
证 由于

所以可得.
当且仅当，即时，等号成立.
2.6利用初等方法证明[1]
证 先设，此时，所要证的不等式为.
事实上，因为
，
所以把这个不等式相加，就可得到.
我们可把一般情形化为特殊形式，这里在已知不等式

中，令
，，
并取，得个不等式，一起相加，有
，
于是
，
再把上式平方，即得
.
2.7利用向量内积证明[5]
证 设，是与的夹角.
由
.
则
.
即
.
所以
.
当且仅当或时，等号成立.
即与平行，时，等号成立.
3.柯西不等式的不同形式
柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学领域中都有着极广泛的应用.它在不同的数学领域有不同的形式与内容，它能启发人们得到灵活多样的证明思维，但其本质是不变的，这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性与统一性.
3.1柯西不等式在微积分中的形式[4]
微积分中的柯西不等式称为柯西-许瓦兹不等式【Cauchy-Schwarz不等式】其公式为
对于区间上的任意可积实函数，
均有
.
3.2柯西不等式在线性代数中的形式[4]
在线性代数中的柯西不等式称为柯西-布涅柯斯基不等式【Cauchy-Bunyakovski不等式】其公式为
向量，有
.
当且仅当存在不全为零的常数，使时，等式成立，即二矢量内积小于等于二矢量长度之积.
3.3柯西不等式在概率论中的形式[2]
在概率论中的柯西不等式称为柯西-许瓦兹矩不等式，其公式为：对于，若存在，则有
.
当且仅当时，等式成立，其中为常数.
该不等式反应了两个随机变量之间具有的线性关系，以随机变量的数字特征形式给出.
3.4柯西不等式在泛函分析中的形式[3]
在泛函分析中的柯西不等式的形式为：设为内积空间，则对于，均有
.
在学习柯西不等式的不同阶段接触到的柯西不等式的形式与内容有所不同，但它们的本质基本相同，所以在学习中，要区分开这些形式.线性代数与概率论所在的公式具有一般性与抽象性，它体现了线性代数、概率论、高等数学与初等数学之间的相互渗透，相互促进的内在联系.正如德国数学家希尔伯特所说的一句名言，“数学是一有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系”.
4.柯西不等式的应用
通过利用柯西不等式推导空间一点到平面的距离公式，两平行线间的距离公式，解释样本线性相关系数，证明三角不等式，解决极值问题及在平面几何中的应用，深入体会柯西不等式应用的广泛性，及其在解决问题上的技巧，使之以简捷、严谨、快速的方式解决.
4.1推导重要公式
4.1.1 空间一点到平面的距离公式
例4.1.1[6] 推导空间一点到平面的距离公式
.
解 设是平面上任意一点，
则 ，
那么

的最小值就是到平面的距离.
由柯西不等式得
.
即
，
当且仅当 平面时取等号.
故点到平面的距离公式是
.
同理，令在利用柯西不等式可得到点到直线的距离公式是
.
4.1.2 两平行直线之间的距离公式
例4.1.2[6] 已知两平行直线与,求两直线的距离.
解 设、分别是直线 与上任意两点，则
(1)
(2)
.
由柯西不等式得：
.
又（1）式（2）式,得
.
所以
，
当且仅当 时，，等号成立.
故两平行直线的距离是
.
4.2 解释样本线性相关系数[7]
在《概率论与数理统计》一书的线性回归内容中，有样本相关系数
，
并指出且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，则相关程度越小.现在我们可以用柯西不等式解释样本线性相关系数.
记 ，则
.
由柯西不等式，有.
当时，
，
此时
（为常数），
点（）均在直线 上.
当时，
，
即
，
而
，
所以
，（为常数）.
此时
，（为常数）.
点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大.当时，不具备上述特征，从而找不到合适的常数使点都在直线附近，所以越接近于，则相关程度越小.
4.3证明三角形不等式[1]
例4.3 证明三角形不等式
.
证 由于
，
又按柯西不等式，有
，
把上面两个不等式相加，再除以，即得三角形不等式.
4.4求最值问题
例4.4,1[4] 如果，，那么当且仅当时，
的最小值是.
证 由柯西不等式，得
，
即
.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值是.
该例题是个条件极值问题，是在的条件下才成立.若把这个条件变成，求的最大值，同样也能得出.
只需
,
即亦即，当且仅当时，等号成立.由此可得的最大值是.这两个极值原理能够更方便的解决中学数学与数学竞赛题中一些求极值的问题.
例4.4.2[7] 已知实数满足试求的最值.
解 由柯西不等式，得
，
即
.
又由已知条件，可得
，
解得
.
当且仅当 时，等号成立.
当时，；
当时，.
利用柯西不等式可以方便的解决一些含两个或两个以上变量的式子最值问题，在解题时，关键是把握柯西不等式的结构特点，巧利用“1”的代换关系，合理安排式子的位置，常见技巧有巧凑系数或巧消变量等.
4.5在初等几何中的应用
例4.5.1[1] 设三角形的三边为，面积为,求证: .
证 由海伦（Heyon）公式
，
并根据算术平均-几何平均不等式，有
，
于是.
又根据柯西不等式，有
，
.

例4.5.2[6] 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，求证
.
证 由柯西不等式，得
.
记为的面积，则
.
所以
.
从以上例题中我们可以看出，在利用柯西不等式解题的过程中，观察非常重要.由于柯西不等式的结构对称，我们可以利用它的基本形式，如果没有，也要创造出这样的形式，设法创造两数平方与相乘的形式.
例如：不是柯西不等式的形式，但是变形成就可以用柯西不等式了.对于这样的变形不是简单去记忆，而应该去理解、掌握，并根据实际情况来进行变换的能力，简洁快速的解题.
总之，柯西不等式作为数学中一个非常重要的不等式，它将两数列中各项积的与与与的积巧妙地结合在一起，灵活应用柯西不等式可使许多问题得到简化.
5.柯西不等式的推广
柯西不等式最有名的推广就是赫尔德不等式，从其又可得到闵可夫斯基不等式等其他有趣的不等式.还可从实数推广到复数，应用于更广的范围.
5.1推广到复数
由于不等式只有实数才有意义，所以对于复数或向量要谈大小关系，自然的选择是其长度.对此，我们只需将柯西不等式数的平方，该为复数的模的平方即可.
对于任意的复数，定义长度，那么
设为任意复数，则
.
等式成立的充分必要条件是，是复数.
5.2赫尔德不等式
定理5.2（赫尔德不等式）: 设，满足，
则
.
等号成立的充分必要条件是:.
证 首先证明时，对任何正数及,有.
对凹函数，有
.
令
，
代入以上不等式并对于，把这个不等式相加，得
，
即
.
等号成立的充分必要条件是:，即.
5.3闵可夫斯基不等式
定理5.3（闵可夫斯基不等式）： 对,，则
.
当且仅当时，等号成立.
证 由赫尔德不等式，得

所以
.
不难知，当且仅当时，等号成立.

参考文献
[1] 余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（下册）[M].北京：高等教育出版社1988:409-410.
[2] 魏宗舒.概率论与数理统计[M]. 北京：高等教育出版社，1983:151-153.
[3] 郑维行，王声望.实变函数与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，1980:159-180.
[4] 蔡洪新.柯西不等式的推广与应用[J].《保山学院学报》2013,23(5):26-30.
[5] 洪顺刚.柯西不等式的证明及其应用[J].《皖西学院学报》2004,20(2):13-15.
[6] 杨丽英.柯西不等式的证明及应用[J].《内蒙古师范大学学报》（自然科学汉文版） 2013,42(1):16-21.
[7] 周秀君，周天刚.柯西不等式的应用与推广[J].《牡丹江教育学院学报》2009,34(3):65-68.
[8] 黄卫.柯西不等式证明及应用[J].《赤峰学院学报》（自然科学版）2011,27(4):15-17.
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