角平分线第一课时.doc

第一章 三角形的证明
第4节 角平分线（第1课时）

（教学设计：白鹤）
[课型]新授课 [课时]1课时 [学段]八年级
[授课地点]洛滨镇初级中学八年级教室
[教学方法]多媒体教学法、讲授法
[学习方法]探究法、小组讨论法
[教学目标]
/知识与能力/1、理解并掌握角平分线的性质定理和判定定理；
2、能够利用尺规做出已知角的角平分线。
/过程与方法/1、通过证明角平分线的性质定理和判定定理，提高推理证明的意
识和能力；
2、通过类比的方法，掌握三角形的角平分线的性质定理。
/情感态度价值观/1、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步
体会证明的必要性；
2、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
[教学重点]1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论。
[教学难点]会应用角平分线的性质定理及判定定理。
[学情分析]
本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造证明一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造证明角平分线性质定理的逆命题。
[教学过程]
本节课设计了八个教学环节：第一环节：新课导入；第二环节：温故知新；第三环节：探究新知；第四环节：操作活动；第五环节：巩固提高；第六环节：课堂练习；第七环节：本节小结；第八环节：作业设计
一、新课导入
[情境]
如图，施工队要爆破一目标在A区，
为了不影响交通，施工队决定将该
目标定在到公路、铁路的距离相等
的点B处，离公路与铁路交叉处500
米，在图上找出它的位置
（比例尺1:20000）。
二、温故知新：
1、角平分线的概念：一条射线把一个角分成二个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、点到直线距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

三、探究新知：
(一)角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
1.请同学们利用上学期所学的知识，思考请讨论一下这个定理中的条件和结论。请同学们试着改写请证明。
2.分析：文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E
∴PD=PE
应用方向：证明两条线段相等
[例1]已知：如图所示，OC为∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D、E。
求证：PD=PE
（分析推理，与学生共同完成证明过程）
证明：
∵OC是∠AOB的平分∴∠1=∠2
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO 和△PEO中
∠1=∠2
OP=OP(公共边)
∠PDO=∠PEO
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
（二）角平分线的判定定理：在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
（请同学们思考如何改写并证明这一定理）
[例2]已知：如图所示，点P为∠AOB的内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。
求证：OP平分∠AOB。
证明：
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP（斜边）
PD=PE（直角边）
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠POD=∠POE(全等三角形对应角相等)．
即点P在∠AOB的角平分线上。
四、 操作活动
如图，施工队要爆破一目标在A区，为了不影响交通，施工队决定将该目标定在到公路、铁路的距离相等的点B处，离公路与铁路交叉处500米，在图上找出它的位置（比例尺1:20000）。
第一步：做出角平分线（角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等）
第二步：计算截取长度
设目标到交叉处O的图上距离为x厘米，
由题意，得500米=50000厘米

X=2.5
第三步：绘图作答。
五、巩固提高：
综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。
[例3]如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
解：解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E、F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点，在这个角
的平分线上）
又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30°
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴ （在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半）
答：DE长为5。
六、 课堂练习（中考对接）：
（湖南中考）如图P是∠BAC内的
一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别
为点E、F，AE=AF。
求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上。
七、本节小结：
（1）角平分线的性质定理和角平分线的判定定理；
（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样做实际是重新证了一次定理）。
八、作业设计
正式作业：随堂练习 1、2； 习题1.9 2、3、4。
注：画图题要出现作图痕迹及作法。
家庭作业：《绩优学案》角平分线（第一课时）
[板书设计]
1.4 角平分线
角平分线性质定理 ：①角平分线上点②两边距离③相等
角平分线判定定理：①角的内部②距离相等的点③在角平分线上
[教学反思]